VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
185
Par hypoth` ese, il existe une fonction f telle que F T = f (y). Le principe fondamental
de la dynamique donne
F T = mγ T = m
d
2 y
dt 2 ,
d’o` u
(E)
my
= f (y)
avec y
= d
2 y/dt
2 . On en d´ eduit my
y
− f (y)y
= 0, donc
1
2 my
2
− ϕ(y) = λ, o` u
ϕ est une primitive de f . La quantit´ e
1
2 my
2 = E c est “l’´ energie cin´ etique” de la
particule tandis que
−ϕ(y) = −
f (y)dy = −
− →
F T (M ) · d
− →
M = −
− →
F (M ) · d
− →
M
est “l’´ energie potentielle” E p . L’´ energie totale
E t = E c + E p =
1
2
my
2
− ϕ(y)
est constante quel que soit le mouvement du point M . On dit que U (y, y
) =
1
2 my
2
− ϕ(y) est une “int´ egrale premi` ere” de (E) (dans le sens que c’est une
relation diff´ erentielle obtenue ` a l’aide d’une premi` ere int´ egration de l’´ equation du
second ordre, une deuxi` eme int´ egration restant n´ ecessaire pour ´ etablir la loi du
mouvement). Si E t d´ esigne l’´ energie totale, la loi du mouvement est donn´ ee par
t − t 0 = ±
m/2
y
y0
du
E t + ϕ(u)
au voisinage de tout donn´ ee initiale (t 0 , y 0 , y
0 ) telle que
1
2 my
2
0 = E t + ϕ(y 0 ) > 0.
Compl´ ement – Supposons que la fonction f : R → R soit de classe C
1 ,
strictement d´ ecroissante et telle que f (0) = 0 ; on a donc en particulier f (y) > 0
pour y < 0 et f (y) < 0 pour y < 0 (physiquement, ceci signifie que la force est
une “force de rappel” vers la position neutre y = 0, dont l’intensit´ e s’accroˆ ıt avec
la distance `
a la position neutre). Alors les solutions maximales t → y(t) sont
p´ eriodiques. Pour le voir, posons par exemple ϕ(u) =
u
0
f (y)dy et observons que ϕ
est une fonction concave n´ egative ou nulle, passant par un maximum en ϕ(0) = 0.
Comme
1
2 my
2
− ϕ(y) = E t avec y
2
≥ 0 et −ϕ(y) > 0 si y = 0, les solutions non
triviales n’existent que pour une valeur E t > 0 de l’´ energie totale, et elles v´ erifient
|y
| ≤
2E t /m et −ϕ(y) ≤ E t . De plus, si a < 0, b > 0 sont les uniques r´ eels
n´ egatif et positif tels que ϕ(a) = ϕ(b) = −E t , on a a ≤ y(t) ≤ b pour tout t. Ceci
implique d´ ej` a que les solutions maximales sont d´ efinies sur R tout entier [si par
exemple une solution maximale n’´ etait d´ efinie que sur un intervalle ouvert ]t 1 , t 2 [,
le crit` ere de Cauchy uniforme montrerait que y se prolonge par continuit´ e ` a droite
en t 1 et ` a gauche en t 2 , puisque y est lipschitzienne de rapport ≤
2E t /m, et
de mˆ eme y
et y
se prolongeraient grˆ ace ` a la relation y
=
1
m f (y) ; l’existence
de solutions locales au voisinage de t 1 et t 2 contredirait alors la maximalit´ e de y].
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Par hypoth` ese, il existe une fonction f telle que F T = f (y). Le principe fondamental
de la dynamique donne
F T = mγ T = m
d
2 y
dt 2 ,
d’o` u
(E)
my
= f (y)
avec y
= d
2 y/dt
2 . On en d´ eduit my
y
− f (y)y
= 0, donc
1
2 my
2
− ϕ(y) = λ, o` u
ϕ est une primitive de f . La quantit´ e
1
2 my
2 = E c est “l’´ energie cin´ etique” de la
particule tandis que
−ϕ(y) = −
f (y)dy = −
− →
F T (M ) · d
− →
M = −
− →
F (M ) · d
− →
M
est “l’´ energie potentielle” E p . L’´ energie totale
E t = E c + E p =
1
2
my
2
− ϕ(y)
est constante quel que soit le mouvement du point M . On dit que U (y, y
) =
1
2 my
2
− ϕ(y) est une “int´ egrale premi` ere” de (E) (dans le sens que c’est une
relation diff´ erentielle obtenue ` a l’aide d’une premi` ere int´ egration de l’´ equation du
second ordre, une deuxi` eme int´ egration restant n´ ecessaire pour ´ etablir la loi du
mouvement). Si E t d´ esigne l’´ energie totale, la loi du mouvement est donn´ ee par
t − t 0 = ±
m/2
y
y0
du
E t + ϕ(u)
au voisinage de tout donn´ ee initiale (t 0 , y 0 , y
0 ) telle que
1
2 my
2
0 = E t + ϕ(y 0 ) > 0.
Compl´ ement – Supposons que la fonction f : R → R soit de classe C
1 ,
strictement d´ ecroissante et telle que f (0) = 0 ; on a donc en particulier f (y) > 0
pour y < 0 et f (y) < 0 pour y < 0 (physiquement, ceci signifie que la force est
une “force de rappel” vers la position neutre y = 0, dont l’intensit´ e s’accroˆ ıt avec
la distance `
a la position neutre). Alors les solutions maximales t → y(t) sont
p´ eriodiques. Pour le voir, posons par exemple ϕ(u) =
u
0
f (y)dy et observons que ϕ
est une fonction concave n´ egative ou nulle, passant par un maximum en ϕ(0) = 0.
Comme
1
2 my
2
− ϕ(y) = E t avec y
2
≥ 0 et −ϕ(y) > 0 si y = 0, les solutions non
triviales n’existent que pour une valeur E t > 0 de l’´ energie totale, et elles v´ erifient
|y
| ≤
2E t /m et −ϕ(y) ≤ E t . De plus, si a < 0, b > 0 sont les uniques r´ eels
n´ egatif et positif tels que ϕ(a) = ϕ(b) = −E t , on a a ≤ y(t) ≤ b pour tout t. Ceci
implique d´ ej` a que les solutions maximales sont d´ efinies sur R tout entier [si par
exemple une solution maximale n’´ etait d´ efinie que sur un intervalle ouvert ]t 1 , t 2 [,
le crit` ere de Cauchy uniforme montrerait que y se prolonge par continuit´ e ` a droite
en t 1 et ` a gauche en t 2 , puisque y est lipschitzienne de rapport ≤
2E t /m, et
de mˆ eme y
et y
se prolongeraient grˆ ace ` a la relation y
=
1
m f (y) ; l’existence
de solutions locales au voisinage de t 1 et t 2 contredirait alors la maximalit´ e de y].