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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
L’´ equation se ram` ene alors ` a l’´ equation du premier ordre
v
dv
dy
= f (y, v).
La r´ esolution de cette derni` ere donne une solution g´ en´ erale v(y, λ), λ ∈ R. On doit
ensuite r´ esoudre
y
= v(y, λ) ⇔
dy
v(y, λ)
= dx,
d’o` u la solution g´ en´ erale
dy
v(y, λ)
= x + µ,
µ ∈ R.
c) ´
Equations du type (E) : y
= f (y)
C’est un cas particulier du cas b) pr´ ec´ edent, mais on peut ici pr´ eciser davantage la
m´ ethode de r´ esolution. On a en effet
y
y
= f (y)y
,
et en int´ egrant il vient
1
2 y
2 = ϕ(y) + λ, λ ∈ R, o` u ϕ est une primitive de f . On
obtient donc
y
= ±
2(ϕ(y) + λ),
±
dy
2(ϕ(y) + λ)
= dx,
±
y
y0
du
2(ϕ(u) + λ)
= x + µ, µ ∈ R.
Interpr´ etation physique – On ´ etudie la loi du mouvement d’un point mat´ eriel
M de masse m astreint `
a se d´ eplacer sur une courbe (C). On suppose que la
composante tangentielle
− →
F T de la force
− →
F qui s’exerce sur M ne d´ epend que de la
position de M , rep´ er´ ee par son abscisse curviligne y sur (C).
(C)
M
− →
F T
− →
F
− →
F N
y