VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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º
ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÒØØØÐÐÐ× Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ
º½º ÊÊÑÑÖÕÙÙ× Ò ÖÖÐÐ×
On consid` ere une ´ equation diff´ erentielle
(E)
y
= f (x, y, y
)
o` u f : U → R, U ⊂ R
3 , est une application continue localement lipschitzienne en
ses deuxi` eme et troisi` eme variables.
La solution g´ en´ erale y d´ efinie au voisinage d’un point x 0 d´ epend alors de deux
param` etres λ, µ ∈ R qui apparaissent le plus souvent comme des constantes
d’int´ egration :
y(x) = ϕ(x, λ, µ).
Le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz montre qu’on peut choisir y 0 = y(x 0 ), y 1 = y
(x 0 )
comme param` etres.
Il existe tr` es peu de cas o` u on sait r´ esoudre explicitement une ´ equation du second
ordre : mˆ eme les ´ equations lin´ eaires du second ordre sans second membre ne se
r´ esolvent pas explicitement en g´ en´ eral.
º¾º
ÕÙÙØØÓÒ× ÒÒÓÑÔÐ ØØ× Ù ×××ÓÒÒ ÓÖÖÖÖ
a) ´
Equations du type (E) : y
= f (x, y
)
Si on consid` ere la nouvelle fonction inconnue v = y
, (E) se ram` ene ` a l’´ equation du
premier ordre
v
= f (x, v).
La solution g´ en´ erale de cette derni` ere sera de la forme v(x, λ), λ ∈ R, et on obtient
donc
y(x) =
x
x0
v(t, λ)dt + µ, µ ∈ R.
b) ´
Equations du type (E) : y
= f (y, y
)
La m´ ethode consiste ` a prendre y comme nouvelle variable et v = y
comme variable
fonction inconnue (en la variable y).
• Il peut y avoir des solutions constantes y(x) = y 0 , auquel cas y ne peut ˆ etre choisi
comme variable. On a donc des solutions singuli` eres
y(x) = y j , avec f (y j , 0) = 0.
• Cas g´ en´ eral
y
=
dy
dx
=
dy
dx
·
dy
dy
= v
dv
dy