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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
En posant θ = tan(α/2) et sin α = 2 sin
α
2
cos
α
2
=
2θ
1 + θ 2 , on trouve
dt = −
r 0
v
tan(α/2)
λ
(sin α) 2 dα = −
r 0
2v
(1 + θ
2 )θ
λ−2 dθ,
t =
r 0
2v
1 − θ
λ−1
λ − 1
+
1 − θ
λ+1
λ + 1
compte tenu du fait que θ = 1 en t = 0. Par substitution dans les expressions de x
et y, et d’apr` es l’´ egalit´ e tan α = 2θ/(1 − θ
2 ), on obtient les ´ equations param´ etriques
de la courbe du chien , `
a savoir

     
     
x =
r 0
2
1 − θ
λ−1
λ − 1
+
1 − θ
λ+1
λ + 1
−
r 0
2
(1 − θ
2 )θ
λ−1
y = r 0 θ
λ
t =
r 0
2v
1 − θ
λ−1
λ − 1
+
1 − θ
λ+1
λ + 1
,
θ∈ [0, 1].
Au terme de la poursuite (y = θ = 0), le maˆ ıtre a parcouru la distance
x =
λ
λ 2 − 1
r 0
pendant le temps t =
λ
λ 2 − 1
r 0
v
.
C 0
0
r 0
M (t)
vt
0
x
y
λ = V /v = 10
3, 0 2, 0
1 , 5
1 , 25
Remarque – Les ´ equations ont encore un sens lorsque t < 0. On a dans ce cas
α ∈ ]π/2, π[ , θ ∈ ]1, +∞[ , le chien se trouve dans le quadrant x > 0, y > r 0 et se
dirige vers le maˆ ıtre qui parcourt de son cˆ ot´ e la demi-droite x < 0.