VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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− →
V
− →
V
M 0 = O
M (t)
vt
0
x
y
α
C 0
0
r 0
C(t)
x(t)
y(t)
Notons α l’angle (non orient´ e) α = (Ox,
− − →
CM ) et r =
− − →
CM ; on a bien entendu
α = α(t) et r = r(t). Comme d’habitude en Physique, on d´ esignera par des points
surlignants les d´ eriv´ ees temporelles ˙
r(t) = dr/dt, ˙
α(t) = dα/dt, . . . . A l’instant t,
la position et la vitesse du chien sont donn´ ees par
x(t) = vt − r cos α,
˙
x(t) = v − ˙
r cos α + r ˙
α sin α = V cos α,
y(t) = r sin α,
˙
y(t) = ˙
r sin α + r ˙
α cos α = −V sin α,
Ces ´ equations fournissent ais´ ement l’expression de ˙
r et r ˙
α :
˙
r = v cos α − V,
r ˙
α = −v sin α.
En prenant le quotient on ´ elimine dt et on trouve donc
dr
r dα
= −cotan α +
V
v
1
sin α
.
Notons λ = V /v > 1 le rapport des vitesses respectives du chien et du maˆ ıtre. Apr` es
int´ egration, et compte tenu de ce que r = r 0 et α = π/2 quand t = 0, il vient
ln r = − ln sin α + λ ln tan(α/2) + Cte =⇒ r = r 0
tan(α/2)
λ
sin α
Nous en d´ eduisons
dα
dt
= ˙
α = −
v sin α
r
= −
v
r 0
(sin α)
2 tan(α/2)
−λ .