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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Les courbes Γ µ sont donc les lignes de niveau
(x
2 + y
2 )
2
− 2x
2 + 2y
2 = µ,
µ ∈ R,
ce qui peut encore s’´ ecrire
(x
2 + y
2 + 1)
2
− 4x
2 = µ + 1,
(x
2
− 2x + 1 + y
2 )(x
2 + 2x + 1 + y
2 ) = µ + 1,
((x − 1)
2 + y
2 )((x + 1)
2 + y
2 ) = µ + 1,
MA · MA
= C =
µ + 1,
avec
M
x
y
,
A
A
0
,
A
−1
0
.
Les courbes MA · MA
= C s’appellent des ovales de Cassini. Leur allure est la
suivante.
x
y
¿º¿º ÓÙÖÖÖ ÔÓÙÖ×ÙÙØØ Ù Ò
Nous pr´ esentons ici la c´ el` ebre courbe du chien comme exemple de courbe de
poursuite. Voici le probl` eme : un chien et son maˆ ıtre se d´ eplacent l’un et l’autre `
a
des vitesses scalaires constantes V (pour le chien) et v (pour le maˆ ıtre), avec V > v.
On suppose que le maˆ ıtre se d´ eplace en ligne droite, disons sur l’axe Ox, dans la
direction positive, suivant la loi x = vt. A l’instant t = 0, le chien se trouve au
point x = 0 y = r 0 , `
a distance r 0 du maˆ ıtre. Le chien cherche `
a rejoindre son
maˆ ıtre en pointant son vecteur vitesse
− →
V en direction du maˆ ıtre. Le probl` eme est
de d´ eterminer la loi du mouvement C(t) du chien.