VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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• (C λ ) satisfait (E) : y
= f (x, y).
En un point (x, y) donn´ e, la pente de la tangente `
a C λ est y
= f (x, y). La pente
de la tangente `
a Γ µ est donc −1/f (x, y). Les courbes (Γ µ ) sont donc solutions de
(E
⊥ ) :
y
= −
1
f (x, y)
.
• (C λ ) satisfait (E) :
d
− →
M
dt
=
− →
V (M ) ⇔

  
  
dx
dt
= a(x, y)
dy
dt
= b(x, y)
.
La tangente `
a C λ est port´ ee par
− →
V (M ), celle de (Γ µ ) est donc port´ ee par le vecteur
orthogonal
− →
V (M )
⊥
−b(x, y)
a(x, y)
. Par suite (Γ µ ) est solution de
(E
⊥ )

  
  
dx
dt
= −b(x, y)
dy
dt
= a(x, y)
• (C λ ) satisfait (E) : α(x, y)dx + β(x, y)dy = 0.
Alors (Γ µ ) v´ erifie (E
⊥ ) : −β(x, y)dx + α(x, y)dy = 0.
Cas particulier. Supposons que les courbes C λ sont les lignes de niveau V (x, y) =
λ de la fonction V . Elles v´ erifient alors
(E)
V
x (x, y)dx + V
y (x, y)dy = 0.
Leurs trajectoires orthogonales (Γ µ ) sont les lignes de champ du gradient
− − →
grad V :
(E
⊥ )

  
  
dx
dt
= V
x (x, y)
dy
dt
= V
y (x, y)
Exemple – Soit C λ : y
2
− x
2 + λxy + 1 = 0 (cf. § 3.1).
Nous avons vu que C λ v´ erifie
(E) :
(x
2 + y
2 + 1)ydx − (x
2 + y
2
− 1)xdy = 0.
Donc Γ µ v´ erifie
(E
⊥ ) :
(x
2 + y
2
− 1)xdx + (x
2 + y
2 + 1)ydy = 0
⇔ (x
2 + y
2 )(xdx + ydy) − xdx + ydy = 0.
Une int´ egrale premi` ere apparaˆ ıt imm´ ediatement :
d
1
4
(x
2 + y
2 )
2
−
x
2
2
+
y
2
2
= 0