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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
En faisant x = 1, y = 0 on trouve C = −1, d’o` u l’´ equation
C λ : y
2
− x
2 + λxy + 1 = 0,
λ∈ R,
avec λ =
1
m − m (noter que m →
1
m − m est surjective de R
∗ sur R). Sur C λ on a :
λ =
x
2
− y
2
− 1
xy
,
dλ = 0 =
(2xdx − 2ydy)xy − (x
2
− y
2
− 1)(xdy + ydx)
x 2 y 2
.
L’´ equation diff´ erentielle des courbes C λ est donc
(E) : (2x
2 y − x
2 y + y
3 + y)dx + (−2xy
2
− x
3 + xy
2 + x)dy = 0,
(E) : (x
2 + y
2 + 1)ydx − (x
2 + y
2
− 1)xdy = 0.
¿º¾º ÊÊÊÊÊÖ × ØÖÖÖÖÖØÓÓÖÖ× ÓÖØØÓÓÓÒÒÐÐ×
ÙÒÒ ÑÑÐÐÐ
ÓÙÖÖÖ×
Soient (C λ ), (Γ µ ) deux familles de courbes.
D´ efinition – On dit que C λ et Γ λ sont orthogonales si les tangentes `
a C λ et Γ µ
sont orthogonales en tout point de C λ ∩ Γ µ , quels que soient λ et µ.
C λ
Γ µ
Probl` eme – Etant donn´ e une famille de courbes C λ , trouver la famille (Γ µ ) des
courbes qui sont orthogonales aux C λ .
Pour cela, on suppose que l’on connaˆ ıt une ´ equation diff´ erentielle (E) satisfaite par
les courbes C λ , et on cherche l’´ equation diff´ erentielle (E
⊥ ) des courbes orthogonales Γ µ . Distinguons quelques cas.