VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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• Cas particulier. On suppose que les courbes C λ sont les lignes de niveau d’une
fonction V de classe C
1 :
C λ : V (x, y) = λ,
λ ∈ R.
Alors les courbes C λ sont solutions de l’´ equation diff´ erentielle
(E)
V
x (x, y)dx + V
y (x, y)dy = 0.
• Cas g´ en´ eral. Si l’´ equation h(x, y, λ) = 0 peut se mettre sous la forme
λ = V (x, y), on est ramen´ e au cas pr´ ec´ edent. Sinon on ´ ecrit que sur chaque C λ on
a
h(x, y, λ) = 0
h
x (x, y, λ)dx + h
y (x, y, λ)dy = 0,
et on essaie d’´ eliminer λ entre les 2 ´ equations pour obtenir une ´ equation ne faisant
plus intervenir que x, y, dx, dy.
Exemple – Soit C λ la famille des hyperboles ´ equilat` eres de centre O passant par
le point A(1, 0).
y = m x
y = < 1
m x
A
(−1, 0)
0
x
y
A (1, 0)
C λ
Les asymptotes de C λ sont alors des droites orthogonales passant par O, soit
y = mx,
y = −
1
m
x,
m ∈ R
∗ .
Posons X = y − mx, Y = y +
1
m x. L’´ equation de l’hyperbole cherch´ ee s’´ ecrit
XY = C (constante),
(y − mx)(y +
1
m
x
= C,
y
2
− x
2 +
1
m
− m
xy = C.