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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(x(p), y(p))
Γ
D p
Le vecteur tangent (x
(p), y
(p)) `
a Γ doit avoir mˆ eme pente p que D p , d’o` u
y
(p) = px
(p). Par ailleurs (x(p), y(p)) ∈ D p , donc
y(p) = px(p) + b(p).
En diff´ erentiant, il vient
y
(p) = px
(p) + x(p) + b
(p).
Ceci implique x(p) + b
(p) = 0, d’o` u la param´ etrisation cherch´ ee de l’enveloppe :
Γ
x(p) = −b
(p)
y(p) = −pb
(p) + b(p).
Si b est de classe C
2 , on a y
(p) = −pb
(p) = px
(p) de sorte que Γ est bien
l’enveloppe des droites D p . La courbe Γ est une solution singuli` ere de (E).
Exercice – R´ esoudre l’´ equation (xy
− y)(1 + y
2 ) + 1 = 0.
¿º ÈÖÓÓÐ ÑÑ× ÓÑ ØÖÖÕÙÙ× ÓÒÒÙÙ××ÒØ
×
ÕÙÙØØÓÒ×
ÖÖÒØØØÐÐÐ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ
¿º½º
ÕÙÙØØÓÒ ÖÖÒØØØÐÐÐ ××ÓÓÓ
ÙÒÒ ÑÑÐÐÐ ÓÙÖÖÖ×
On consid` ere le probl` eme suivant :
Probl` eme – Etant donn´ e une famille de courbes
C λ : h(x, y, λ) = 0, λ ∈ R,
existe-t-il une ´ equation diff´ erentielle du premier ordre dont les courbes C λ soient
les courbes int´ egrales ?