VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
175
M´ ethode de R´ esolution – On choisit p = y
comme nouvelle variable
param´ etrant chaque courbe int´ egrale ; ceci est l´ egitime ` a condition que y
ne
soit pas une constante sur un morceau de la courbe int´ egrale consid´ er´ ee. Dans
le cas contraire, si y
= p 0 = constante, la courbe int´ egrale est contenue dans la
droite y = a(p 0 )x + b(p 0 ), ce qui n’est compatible avec la condition y
= p 0 que si
a(p 0 ) = p 0 .
• On a donc des solutions singuli` eres y = p j x + b(p j ) o` u les p j sont les racines de
a(p) = p.
• Solution g´ en´ erale :
y = a(p)x + b(p),
dy = a(p)dx + (a
(p)x + b
(p))dp
dy = y
dx = pdx.
Il vient
(p − a(p))dx = (a
(p)x + b
(p))dp,
et pour p = a(p) on aboutit `
a
dx
dp
=
1
p − a(p)
(a
(p)x + b
(p)) ;
c’est une ´ equation lin´ eaire en la fonction x(p). La solution g´ en´ erale sera de la forme
x(p) = x (1) (p) + λz(p), λ ∈ R,
y(p) = a(p)(x (1) (p) + λz(p)) + b(p).
Exercice – R´ esoudre l’´ equation 2y − x(y
+ y
3 ) + y
2 = 0.
¾ººº
ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÐÖÖÙØ
C’est le cas particulier des ´ equations de Lagrange dans lequel a(p) = p pour toute
valeur de p, soit
(E)
y = y
x + b(y
).
Les droites
D p : y = px + b(p)
qui ´ etaient pr´ ec´ edemment des solutions singuli` eres forment maintenant une famille
g´ en´ erale de solutions.
Montrons que les droites D p poss` edent toujours une enveloppe Γ. Une telle courbe
Γ admet par d´ efinition une param´ etrisation (x(p), y(p)) telle que Γ soit tangente `
a
D p au point (x(p), y(p)).