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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
• Solution g´ en´ erale :
1 − t
2
t(t 2 − 2)
=
1 −
t
2
2 −
t
2
2
t(t 2 − 2)
= −
1
2t
−
t
2(t 2 − 2)
,
3(1 − t
2 )
2t(t 2 − 2)
dt = −
3
4
dt
t
−
3
4
tdt
t 2 − 2
.
On en d´ eduit
ln |x| = −
3
4
ln |t| −
3
8
ln |t
2
− 2| + C,
x = λ|t|
−3/4
|t
2
− 2|
−3/8
y =
y
x · x =
λ
2 (3t − t
3 )|t|
−3/4
|t
2
− 2|
−3/8 .
x
y
Exercice – Montrer que par tout point (x, y) tel que |y| < |x| il passe exactement
trois courbes int´ egrales, alors qu’il n’en passe qu’une si |y| > |x|. Combien en passet-il si |y| = |x| ? [Indication : ´ etudier le nombre de valeurs de t et y
associ´ ees `
a
une valeur donn´ ee de y/x].
¾ººº
ÕÙÙØØÓÒ× ÄÄÖÖÒÒÒ ´ÓÙ
ÕÙÙØØÓÒ×
×ÓÓÐÐÒÒ× ÖÖÖØØÐÐÐÒÒ×µ
Cherchons ` a d´ eterminer les ´ equations diff´ erentielles dont les courbes isoclines sont
des droites. La courbe isocline y
= p sera une droite y = a(p)x + b(p) (pour
simplifier, on ´ ecarte le cas des droites parall` eles ` a y
Oy). L’´ equation diff´ erentielle
correspondante est donc
(E)
y = a(y
)x + b(y
).
On supposera que a, b sont au moins de classe C
1 .