VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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• On a d’une part des solutions singuli` eres correspondant aux racines t j de
ψ(t) = ϕ(t), donnant des droites
y = xϕ(t j ).
• D’autre part, pour t = t j on obtient
dx
x
=
ϕ
(t)
ψ(t) − ϕ(t)
dt,
ce qui donne par int´ egration de ϕ
/(ψ − ϕ) :
ln |x| = ρ(t) + C,
x = λe
ρ(t)
y = xϕ(t) = λϕ(t)e
ρ(t)
,
λ∈ R.
Il est clair sur ces derni` eres formules que les courbes int´ egrales se d´ eduisent les
unes des autres par les homoth´ eties de centre O.
Exemple – Soit l’´ equation x
2 (y + 3xy
) = (y + xy
)
3 .
En divisant par x
3 on trouve
y
x
+ 3y
=
y
x
+ y
3
,
c’est donc une ´ equation homog` ene non r´ esolue en y
. On obtient une param´ etrisation
en posant
y
x + y
= t
y
x + 3y
= t
3 ,
d’o` u
y
x =
1
2 (3t − t
3 )
( ∗)
y
=
1
2 (t
3
− t).
En diff´ erentiant y =
1
2 (3t − t
3 )x on obtient
dy =
1
2
(3 − 3t
2 )dt · x +
1
2
(3t − t
3 ) dx
= y
dx =
1
2
(t
3
− t) dx,
d’o` u l’´ equation
(t
3
− 2t)dx =
1
2
(3 − 3t
2 )dt · x,
dx
x
=
3(1 − t
2 )
2t(t 2 − 2)
dt.
• Solutions singuli` eres : t(t
2
− 2) = 0 ⇔ t = 0,
√
2, −
√
2. En rempla¸ cant dans (∗)
on obtient les droites
y = 0,
y=
√
2
2
x,
y = −
√
2
2
x.