VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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y
x
pente p 1
pente p 2
Remarque – Dans cette situation, il arrive fr´ equemment qu’on ait une famille
de courbes int´ egrales C λ admettant une enveloppe Γ, c’est-` a-dire une courbe Γ qui
est tangente en chacun de ses points ` a l’une des courbes C λ .
Γ
C λ
La courbe Γ est alors elle-mˆ eme une courbe int´ egrale, car en chaque point sa
tangente appartient au champ des tangentes de l’´ equation (E) (elle co¨ ıncide avec la
tangente de l’une des courbes C λ ). Γ est donc une solution singuli` ere. On notera
qu’une telle courbe Γ doit satisfaire simultan´ ement les deux ´ equations f (x, y, y
) = 0
et ∂f /∂p(x, y, y
) = 0 : chaque point (x, y) ∈ Γ est en effet limite d’une suite de
points en lesquels deux tangentes du champ viennent se confondre, de sorte que
p = y
est racine double de f (x, y, p) = 0. En particulier les hypoth` eses faites cidessus pour appliquer le th´ eor` eme des fonctions implicites ne sont pas satisfaites si
(x 0 , y 0 ) ∈ Γ.
M´ ethode de R´ esolution – Pour r´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles non
r´ esolues en y
, le principe g´ en´ eral est de chercher une param´ etrisation de x, y, y
en
fonction d’un param` etre t qui sera alors choisi comme nouvelle variable.
¾º¾º × ×
ÕÙÙØØÓÒ× ÒÓÒ Ö ×ÓÐÙÙ× ÒÒÓÑÔÐ ØØ×
a) ´
Equations du type (E) : f (x, y
) = 0
Supposons que l’´ equation f (x, p) = 0 admette une param´ etrisation de classe C
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