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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Il vient
dy
dx
=
dr sin θ + r cos θ dθ
dr cos θ − r sin θ dθ
=
dr tan θ + r dθ
dr − r tan θ dθ
.
L’´ equation (E) y
= f
y
x
se transforme alors en
dr tan θ + r dθ = (dr − r tan θ dθ)f (tan θ),
dr(f (tan θ) − tan θ) = rdθ(1 + tan θ f(tan θ)),
dr
r
=
1 + tan θ f(tan θ)
f (tan θ) − tan θ
dθ.
On aboutit donc `
a une ´ equation `
a variables s´ epar´ ees r, θ. Les int´ egrales singuli` eres
correspondent aux droites θ = θ j telles que f (tan θ j ) = tan θ j .
Exercice – R´ esoudre y
=
x+y
x−y ` a l’aide des deux m´ ethodes propos´ ees. Quelle est
la nature des courbes int´ egrales ?
¾º
ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ ÒÓÒ Ö ×ÓÐÙÙ× Ò y
¾º½º ÒÒØØÓÒ× Ø ÔÖÖÑÑ ÖÖ× ÔÖÓÔÖÖ Ø ×
On appelle ´ equation du premier ordre non r´ esolue en y
une ´ equation de la forme
(E)
f (x, y, y
) = 0
o` u (x, y, p) → f (x, y, p) est une fonction de classe C
1 dans un ouvert U ⊂ R
3 .
Pla¸ cons-nous au voisinage d’un point (x 0 , y 0 ) ∈ R
2 . On suppose que l’´ equation
f (x 0 , y 0 , p) = 0 admet des racines p 1 , p 2 , . . . , p N et que ces racines sont simples,
c’est-` a-dire
∂f
∂p
(x 0 , y 0 , p j ) = 0.
D’apr` es le th´ eor` eme des fonctions implicites, on sait alors qu’il existe un voisinage
V de (x 0 , y 0 ), un r´ eel h > 0 et une fonction g j : V → ]p j − h, p j + h[ de classe C
1 ,
1 ≤ j ≤ N , tels que pour tout (x, y, p) ∈ V × ]p j − h, p j + h[ on ait
f (x, y, p) = 0 ⇔ p = g j (x, y).
L’´ equation diff´ erentielle f (x, y, y
) = 0 nous am` ene alors ` a r´ esoudre dans V les N
´ equations diff´ erentielles
(E j )
y
= g j (x, y).
Comme g j est de classe C
1 , on voit que par tout point (x, y) ∈ V il passe exactement
N courbes int´ egrales dont les pentes sont les racines p de f (x, y, p) = 0.