VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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La fonction
2z − 1
z(1 − z)
=
z − (1 − z)
z(1 − z)
=
1
1 − z
−
1
z
admet pour primitive
− ln |1 − z| − ln |z| = − ln |z(1 − z)|,
d’o` u le calcul des courbes int´ egrales :
ln |z(1 − z)| = − ln |x| + C,
z(1 − z) =
λ
x
,
y
x
1 −
y
x
=
λ
x
,
y(x − y) = λx.
Les courbes int´ egrales sont donc des coniques. On peut mettre l’´ equation sous la
forme
(y − λ)(x − y − λ) = λ
2
c’est-` a-dire XY = λ avec X = x − y − λ et Y = y − λ. Il s’agit d’une hyperbole
d’asymptotes y = λ, y = x − λ (parall` eles aux directions asymptotiques y = 0,
y = x donn´ ees par les droites int´ egrales singuli` eres).
Exercice – Montrer que chaque hyperbole passe par (0, 0) avec tangente x = 0.
x
y
Autre M´ ethode de r´ esolution – Utilisation des coordonn´ ees polaires.
Pour r > 0 et θ ∈ R on pose
x = r cos θ
y = r sin θ
.