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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
f ( m ) = m y = z
1 x
y = z 2
x
x
y
isocline y = mx
pente f (m)
Exemple – L’´ equation xy
(2y − x) = y
2 peut se r´ ecrire
y
=
y
2
x(2y − x)
si x = 0, y =
x
2
.
y
est donc une fonction rationnelle en x, y dont le num´ erateur et le d´ enominateur
sont des polynˆ omes homog` enes de degr´ e 2. En divisant le num´ erateur et
d´ enominateur par x
2 on obtient
y
=
(y/x)
2
2y/x − 1
.
Posons z =
y
x , soit y = xz. Il vient
y
= xz
+ z =
z
2
2z − 1
,
xz
=
z
2
2z − 1
− z =
z − z
2
2z − 1
=
z(1 − z)
2z − 1
.
• Solutions singuli` eres :
z = 0,
z = 1,
y = 0,
y= x.
• Pour z = 0, z = 1 l’´ equation se r´ ecrit
2z − 1
z(1 − z)
dz =
dx
x
.