VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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C’est le cas par exemple des ´ equations y
=
P (x,y)
Q(x,y) o` u P, Q sont des polynˆ omes
homog` enes de mˆ eme degr´ e d : une division par x
d au num´ erateur et au d´ enominateur
nous ram` ene ` a y
=
P (1,y/x)
Q(1,y/x) .
M´ ethode – On pose z =
y
x , c’est-` a-dire y = xz. Il vient
y
= z + xz
= f (z),
donc z satisfait l’´ equation `
a variables s´ epar´ ees
z
=
f (z) − z
x
.
• On a d’une part les solutions singuli` eres
z(x) = z j ,
y(x) = z j x
(droites passant par 0),
o` u {z j } est l’ensemble des racines de f (z) = z.
• Pour f (z) = z on peut ´ ecrire
dz
f (z) − z
=
dx
x
,
F (z) = ln |x| + C = ln (λx),
λ∈ R
∗ ,
o` u F est une primitive de z → 1/(f (z) − z) sur ]z j , z j+1 [. On en d´ eduit que
z = F
−1 (ln (λx)), d’o` u la famille de courbes int´ egrales
C λ : y = xF
−1 (ln (λx)),
d´ efinies dans le secteur angulaire z j <
y
x < z j+1 , λx > 0.
En cas de divergence de F aux points z j , z j+1 , on a F
−1 : ] − ∞, +∞[→]z j , z j+1 [
monotone bijective et
y
x → z j ou z j+1 quand x → 0 ou ∞. On a donc d’une
part une branche infinie de direction asymptotique y = z j+1 x (resp. y = z j x)
et une tangente y = z j x (resp. y = z j+1 x) au point 0 si F est croissante (resp.
d´ ecroissante). Noter que la droite y = z j x n’est pas n´ ecessairement asymptote :
voir l’exemple ci-dessous.
Observons enfin que les lignes isoclines sont les droites y = mx, la pente correspondante ´ etant f (m). Le champ des tangentes est donc invariant par les homoth´ eties de
centre O. Ceci permet de voir que l’homoth´ etique d’une courbe int´ egrale est encore
une courbe int´ egrale.
Exercice – V´ erifier que C λ = h 1/λ (C 1 ) o` u h λ (x, y) = (λx, λy).