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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
L’´ equation lin´ eaire sans second membre
w
w =
3x
2
1−x 3 donne
ln |w| = − ln |1 − x
3
| + C, d’o` u w =
λ
1 − x 3 .
La m´ ethode de variation des constantes conduit `
a
λ
1 − x 3 =
1
1 − x 3 soit λ
= 1, λ(x) = x.
La solution g´ en´ erale de l’´ equation lin´ eaire compl` ete est donc
w(x) =
x + λ
1 − x 3 ,
d’o` u y = x
2 + z = x
2 +
1
w = x
2 +
1−x
3
x+λ , soit encore
y(x) =
λx
2 + 1
x + λ
= λx − λ
2 +
1 + λ
3
x + λ
.
Pour λ = −1, on obtient la droite y = −x − 1. Pour λ = −1, il s’agit d’une
hyperbole (y − λx + λ
2 )(x + λ) = 1 + λ
3 , admettant pour asymptotes les droites
x = −λ et y = λx − λ
2 . La solution singuli` ere y (1) (x) = x
2 est la solution limite
obtenue quand |λ| tend vers +∞.
x
y
1
1
½ººº
ÕÙÙØØÓÒ× ÓÑÓÓ ÒÒ×
Une ´ equation homog` ene est une ´ equation qui peut se mettre sous la forme
(E)
y
= f
y
x
o` u f : I → R est continue.