VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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avec p, q : I → R continues (pour α = 1, (E) est lin´ eaire).
On se place dans le demi-plan sup´ erieur U = R × ]0, +∞[= {(x, y) ; y > 0}. En
multipliant par y
−α , on obtient
(E) ⇔ y
−α dy
dx
= p(x)y
1−α + q(x)
Posons z = y
1−α ; alors
dz
dx = (1 − α)y
−α dy
dx , d’o` u
(E) ⇔
1
1 − α
dz
dx
= p(x)z + q(x)
On est donc ramen´ e ` a une ´ equation lin´ eaire en z.
b) ´
Equations de Riccati
Ce sont les ´ equations de la forme
(E)
y
= a(x)y
2 + b(x)y + c(x)
avec a, b, c : I → R continues, c’est-` a-dire que f (x, y) est un polynˆ ome de degr´ e
≤ 2 en y. Montrons que l’on sait r´ esoudre (E) d` es que l’on connaˆ ıt une solution
particuli` ere y (1) . Posons y = y (1) + z. Il vient
y
(1) + z
= a(x)(y
2
(1) + 2y (1) z + z
2 ) + b(x)(y (1) + z) + c(x)
= a(x)y
2
(1) + b(x)y (1) + c(x) + (2a(x)y (1) + b(x))z + a(x)z
2 .
Comme y
(1) se simplifie, on en d´ eduit
z
= (2a(x)y (1) (x) + b(x)) + a(x)z
2 .
C’est une ´ equation lin´ eaire de Bernoulli avec α = 2. On la ram` ene ` a une ´ equation
lin´ eaire en posant w = z
1−α =
1
z .
Exemple – Soit l’´ equation (1 − x
3 )y
+ x
2 y + y
2
− 2x = 0.
On remarque que y (1) (x) = x
2 est solution particuli` ere. En posant y = x
2 + z on
se ram` ene ` a
(1 − x
3 )z
+ 3x
2 z + z
2 = 0
puis, apr` es division par z
2 , `
a
−(1 − x
3 )w
+ 3x
2 w + 1 = 0 avec w =
1
z
,
soit
w
=
3x
2
1 − x 3 w +
1
1 − x 3 , si x = 1.