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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On obtient ainsi la solution particuli` ere
y (1) (x) = e
A(x)
x
x0
b(t)e
−A(t) dt
telle que y (1) (x 0 ) = 0. La solution g´ en´ erale est donn´ ee d’apr` es le th´ eor` eme 1 par
y(x) = e
A(x)
λ +
x
x0
b(t)e
−A(t) dt
.
La solution du probl` eme de Cauchy y(x 0 ) = y 0 est obtenue pour λ = e
−A(x0) y 0 .
Exercice – Propri´ et´ es g´ eom´ etriques li´ ees aux ´ equations lin´ eaires (cf. sch´ ema).
(a) Si y (1) , y (2) , y (3) sont trois solutions d’une ´ equation lin´ eaire, montrer que la
fonction y (3) − y (2) est proportionnelle `
a y (2) − y (1) .
(b) Montrer qu’une ´ equation y
= f (x, y) est lin´ eaire si et seulement si le champ
des tangentes a la propri´ et´ e suivante : pour tout x 0 fix´ e, les tangentes aux
diff´ erents points (x 0 , y) sont concourantes ou toutes parall` eles.
x
y
x 0
½ººº
ÕÙÙØØÓÒ× ×× ÖÖÑÑÒÒÒØ
×
ÕÙÙØØÓÒ× ÐÐÒ ÖÖ×
a) ´
Equations de Bernoulli
Ce sont les ´ equations de la forme
(E)
dy
dx
= p(x)y + q(x)y
α , α ∈ R \ {1},