VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
163
a) Solutions de (E 0 )
Comme f (x, z) = a(x)z est continue et de d´ eriv´ ee partielle
∂f
∂z (x, z) = a(x)
continue, on sait que le probl` eme de Cauchy admet une solution unique en tout
point (x 0 , z 0 ) ∈ I × R. Or z(x) ≡ 0 est clairement solution de (E 0 ). D’apr` es
l’unicit´ e, aucune autre solution ne peut s’annuler en un quelconque point x 0 ∈ I.
Si z = 0, on peut donc ´ ecrire
z
z
= a(x),
ln |z| = A(x) + C, C ∈ R,
o` u A est une primitive de a sur I. On en d´ eduit
|z(x)| = e
C e
A(x) ,
z(x) = ε(x)e
C e
A(x) avec ε(x) = ±1.
Comme z est continue et ne s’annule pas, le signe de z ne change pas, d’o` u
z(x) = λe
A(x)
avec λ = ±e
C . Inversement, toute fonction
z(x) = λe
A(x) , λ ∈ R
et visiblement solution de (E 0 ). On peut donc ´ enoncer :
Th´ eor` eme 2 – Les solutions maximales de (E 0 ) : z
= a(x)z forment un espace
vectoriel de dimension 1, ayant pour base x → e
A(x) .
b) Recherche d’une solution particuli` ere y (1) de (E).
Si aucune solution ´ evidente n’apparaˆ ıt, on peut utiliser la m´ ethode dite de variation
des constantes, c’est-` a-dire que l’on cherche y (1) sous la forme
y (1) (x) = λ(x)e
A(x) ,
o` u λ est diff´ erentiable. Il vient
y
(1) (x) = λ(x)a(x)e
A(x) + λ
(x)e
A(x)
= a(x)y (1) (x) + λ
(x)e
A(x) .
y (1) est donc solution de (E) si on prend
λ
(x)e
A(x) = b(x),
λ
(x) = b(x)e
−A(x) ,
λ(x) =
x
x0
b(t)e
−A(t) , x 0 ∈ I.