VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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Dans ce cas, les courbes int´ egrales y = ϕ(x) v´ erifient
V
x (x, ϕ(x)) + V
y (x, ϕ(x))ϕ
(x) =
d
dx
[V (x, ϕ(x)] = 0.
Les courbes int´ egrales sont donc contenues dans les lignes de niveau V (x, y) = λ,
o` u λ ∈ R est une constante.
− − →
grad V
V (x, y) = λ
En tout point o` u
− − →
grad V =
− →
0 , la ligne de niveau correspondante poss` ede une
tangente perpendiculaire `
a
− − →
grad V . Le champ des tangentes est dirig´ e par le vecteur
k
1
f (x, y)
, resp. k
a(x, y)
b(x, y)
dans le cas de (E) (resp. (S)).
La condition d’orthogonalit´ e
− − →
grad V ⊥ k ´ equivaut `
a la proportionnalit´ e de l’´ equation
V
x dx + V
y dy = 0 `
a l’´ equation diff´ erentielle (E) (ou (S)). On peut donc ´ enoncer :
Propri´ et´ e caract´ eristique – V est une int´ egrale premi` ere si et seulement si
− − →
grad V est orthogonal au champ des tangentes de l’´ equation diff´ erentielle consid´ er´ ee.
Exemple – Soit y
=
y
x+y 2
sur U = {x + y
2
= 0}. L’´ equation se r´ ecrit
(E)
ydx − (x + y
2 )dy = 0.
Cette diff´ erentielle n’est pas une diff´ erentielle exacte dV = P dx + Qdy (on devrait
avoir
∂P
∂y =
∂Q
∂x , ce qui n’est pas le cas). On observe n´ eanmoins que
d
x
y
=
ydx − xdy
y 2
.
Multiplions alors l’´ equation (E) par
1
y 2 , en se pla¸ cant dans l’ouvert y = 0 :
(E) ⇔
ydx − xdy
y 2
− dy = 0 ⇔ d
x
y
− y
= 0.
Les courbes int´ egrales y sont donc donn´ ees par
x
y
− y = λ ⇔ x = y
2 + λy.