VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
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• Dans le carr´ e {|x| < 1 et |y| < 1} l’´ equation s’´ ecrit :
dy
1 − y 2
=
dx
√
1 − x 2
,
d’o` u Arc sin y = Arc sin x + λ, λ ∈ R. Comme Arcsin est une bijection de ] − 1, 1[
sur
−
π
2 ,
π
2
, on a n´ ecessairement λ ∈ ] − π, π[. On doit avoir de plus
Arc sin x ∈
−
π
2
,
π
2
∩
−
π
2
− λ,
π
2
− λ
=

 
 
−
π
2
,
π
2
− λ
si λ ≥ 0,
−
π
2
− λ,
π
2
si λ ≤ 0.
De mˆ eme Arc sin y est dans
−
π
2 + λ,
π
2
si λ ≥ 0, et dans
−
π
2 ,
π
2 + λ
si λ ≤ 0.
Les courbes int´ egrales admettent pour ´ equation
y = sin(Arc sin x + λ) = x cos λ +
1 − x 2 sin λ
avec
x ∈ ] − 1, cos λ[, y ∈ ] − cos λ, 1[ si λ ≥ 0,
x ∈ ] − cos λ, 1[, y ∈ ] − 1, cos λ[ si λ ≤ 0.
L’´ equation ci-dessus implique (y − x cos λ)
2 + x
2 sin
2 λ = sin
2 λ, donc les courbes
int´ egrales sont des arcs d’ellipse.
• L’ouvert {|x| > 1 et |y| > 1} est form´ e de 4 composantes connexes. Pla¸ cons-nous
par exemple dans {x > 1 et y > 1}. On a
(E) ⇔
dy
y 2 − 1
=
dx
√
x 2 − 1
,
d’o` u Arg cosh y = Arg cosh x + λ, λ ∈ R. Arg cosh est une bijection de ]1, +∞[ sur
]0, +∞[ ; en raisonnant comme ci-dessus, on obtient
y = x cosh λ +
x 2 − 1 sinh λ
avec
x ∈ ]1, +∞[, y ∈ ] cosh λ, +∞[ si λ ≥ 0,
x ∈ ] cosh λ, +∞[, y ∈ ]1, +∞[ si λ ≤ 0,
par suite (y − x cosh λ)
2
− x
2 sinh
2 λ + sinh
2 λ = 0, ce qui est l’´ equation d’une
conique. Comme
√
x 2 − 1 = |x|
1 −
1
x 2 = |x| −
1
2|x| + O
1
x 3
, on voit que la
conique admet des asymptotes y = (cosh λ ± sinh λ)x = e
±λ x (pour la branche
x > 1 qui nous int´ eresse, c’est y = e
λ x). On a donc affaire `
a des arcs d’hyperbole.