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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
x
y
y = y 2
y = y 1
g(y) < 0
g(y) > 0
g(y) < 0
c) Cas g´ en´ eral des ´ equations ` a variables s´ epar´ ees :
(E)
y
= f (x)g(y) avec f, g continues.
• Si g(y j ) = 0, la fonction constante y(x) = y j est solution singuli` ere.
• Sur l’ouvert U = {(x, y) ; g(y) = 0} on a
(E) ⇔
dy
g(y)
= f (x)dx
d’o` u G(y) = F (x) + λ, λ ∈ R, o` u F est une primitive de f et G une primitive
de 1/g. Comme G est continue strictement monotone sur chaque intervalle [y j , y j+1 [,
l’application G admet une application r´ eciproque G
−1 et on obtient
y = G
−1 (F (x) + λ).
Exemple – Soit l’´ equation y
=
1 − y 2
1 − x 2 . Le domaine de d´ efinition est la r´ eunion
{|x| < 1 et |y| ≤ 1} ∪ {|x| > 1 et |y| ≥ 1}.
On va donc se placer dans l’ouvert
U = {|x| < 1 et |y| < 1} ∪ {|x| > 1 et |y| > 1}.