VI – M´ ethodes de r´ esolution explicite
157
• Notons y j les racines de g(y) = 0 dans l’intervalle J. Alors y(x) = y j est une
solution (singuli` ere) ´ evidente de l’´ equation.
• Dans l’ouvert U = {(x, y) ∈ R × J ; g(y) = 0}, on a
(E) ⇔
dy
g(y)
= dx.
Les solutions sont donn´ ees par
G(y) = x + λ, λ ∈ R
o` u G est une primitive quelconque de
1
g sur chacun des intervalles ouverts [y j , y j+1 [
d´ elimit´ es par les racines de g. Dans chaque bande R × ]y j , y j+1 [, les courbes
int´ egrales se d´ eduisent les unes des autres par translations dans la direction Ox ;
ceci est ` a relier au fait que les lignes isoclines sont les droites y = m = constante.
Comme G
=
1
g et que g est de signe constant sur ]y j , y j+1 [, on en d´ eduit que G est
une application strictement monotone bijective
G : ]y j , y j+1 [ → ]a j , b j [
avec a j ∈ [−∞, +∞[, b j ∈ ] − ∞, +∞]. On peut donc (au moins th´ eoriquement)
exprimer y en fonction de x :
y = G
−1 (x + λ), λ ∈ R.
Supposons par exemple g > 0, et par suite G croissante sur ]y j , y j+1 [.
• Si
yj +ε
yj
dy
g(y) diverge, on a a j = −∞, par cons´ equent x = G(y) − λ → −∞ quand
y → y j + 0. Dans ce cas, la courbe est asymptote ` a la droite y = y j .
• Si
yj +ε
yj
dy
g(y) converge, alors a j ∈ R et x → a j − λ quand y → y j + 0, avec de plus
y
= g(y) → 0 ; la courbe vient rejoindre la droite y = y j au point (a j − λ, y j ) et
admet la droite y = y j pour tangente en ce point. Cette situation montre qu’il n’y
a pas unicit´ e du probl` eme de Cauchy en cas de convergence de l’int´ egrale.
Exercice – V´ erifier que
dy
g(y) est bien toujours divergente en tout point y j tel
que g(y j ) = 0, lorsque g est localement lipschitzienne.
L’allure des courbes int´ egrales est la suivante (dans le sch´ ema ci-dessous, on suppose
qu’il y a convergence en y 2 − 0, divergence en y 1 ± 0 et y 2 + 0) :
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• Notons y j les racines de g(y) = 0 dans l’intervalle J. Alors y(x) = y j est une
solution (singuli` ere) ´ evidente de l’´ equation.
• Dans l’ouvert U = {(x, y) ∈ R × J ; g(y) = 0}, on a
(E) ⇔
dy
g(y)
= dx.
Les solutions sont donn´ ees par
G(y) = x + λ, λ ∈ R
o` u G est une primitive quelconque de
1
g sur chacun des intervalles ouverts [y j , y j+1 [
d´ elimit´ es par les racines de g. Dans chaque bande R × ]y j , y j+1 [, les courbes
int´ egrales se d´ eduisent les unes des autres par translations dans la direction Ox ;
ceci est ` a relier au fait que les lignes isoclines sont les droites y = m = constante.
Comme G
=
1
g et que g est de signe constant sur ]y j , y j+1 [, on en d´ eduit que G est
une application strictement monotone bijective
G : ]y j , y j+1 [ → ]a j , b j [
avec a j ∈ [−∞, +∞[, b j ∈ ] − ∞, +∞]. On peut donc (au moins th´ eoriquement)
exprimer y en fonction de x :
y = G
−1 (x + λ), λ ∈ R.
Supposons par exemple g > 0, et par suite G croissante sur ]y j , y j+1 [.
• Si
yj +ε
yj
dy
g(y) diverge, on a a j = −∞, par cons´ equent x = G(y) − λ → −∞ quand
y → y j + 0. Dans ce cas, la courbe est asymptote ` a la droite y = y j .
• Si
yj +ε
yj
dy
g(y) converge, alors a j ∈ R et x → a j − λ quand y → y j + 0, avec de plus
y
= g(y) → 0 ; la courbe vient rejoindre la droite y = y j au point (a j − λ, y j ) et
admet la droite y = y j pour tangente en ce point. Cette situation montre qu’il n’y
a pas unicit´ e du probl` eme de Cauchy en cas de convergence de l’int´ egrale.
Exercice – V´ erifier que
dy
g(y) est bien toujours divergente en tout point y j tel
que g(y j ) = 0, lorsque g est localement lipschitzienne.
L’allure des courbes int´ egrales est la suivante (dans le sch´ ema ci-dessous, on suppose
qu’il y a convergence en y 2 − 0, divergence en y 1 ± 0 et y 2 + 0) :