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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
On va maintenant d´ ecrire une situation un peu plus g´ en´ erale qui se ram` ene au cas
d’une ´ equation du type consid´ er´ e ci-dessus.
Syst` emes diff´ erentiels autonomes dans un ouvert U ⊂ R 2 – On
suppose donn´ e un champ de vecteurs dans U , c’est-` a-dire une application continue
M
x
y
→
− →
V (M )
a(x, y)
b(x, y)
, M ∈ U.
On appelle syst` eme autonome associ´ e au champ de vecteurs
− →
V (M ) le syst` eme
diff´ erentiel
(S)
d
− →
M
dt
=
− →
V (M ) ⇔

  
  
dx
dt
= a(x, y)
dy
dt
= b(x, y)
.
Si
− →
V (M ) repr´ esente un champ de vecteurs vitesse (associ´ e par exemple ` a l’´ ecoulement d’une nappe de fluide sur une surface plane), r´ esoudre (S) revient `
a chercher
la trajectoire et la loi du mouvement des particules de fluide en fonction du temps.
Le mot autonome signifie que le champ de vecteurs ne d´ epend pas du temps t
(cas d’un ´ ecoulement stationnaire).
Si t → M (t) est solution, toute fonction t → M (t + T ) obtenue par un d´ ecalage
dans le temps est encore solution. Dans l’ouvert U
=
M (x, y) ; a(x, y) = 0
on a
(S) ⇒ (E) o` u
(E)
dy
dx
=
b(x, y)
a(x, y)
= f (x, y).
R´ esoudre (E) permet de trouver la trajectoire des particules (mais pas la loi du
mouvement en fonction du temps).
½º¾º
ÕÙÙØØÓÒ×
ÚÖÖÖÖÐÐ× × ÔÖ ×
Ce sont les ´ equations dans lesquelles on peut regrouper x, dx d’une part et y, dy
d’autre part. Nous allons examiner 3 cas.
a) ´
Equations y
= f (x), avec f : I → R continue.
Les solutions sont donn´ ees par
y(x) = F (x) + λ, λ ∈ R,
o` u F est une primitive de f sur I. Les courbes int´ egrales se d´ eduisent les unes des
autres par translations dans la direction Oy.
b) ´
Equations y
= g(y), avec g : J → R continue.
L’´ equation peut se r´ ecrire
dy
dx = g(y), ou encore
dy
g(y) = dx ` a condition que g(y) = 0.