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ØØÓÓÓ× Ö
×ÓÐÙØØÓÒ ÜÔÐÐÐÐØØ
×
ÕÙÙØØÓÒ×
ÖÖÒØØØÐÐÐ×
On se propose d’´ etudier un certain nombre de types classiques d’´ equations
diff´ erentielles du premier et du second ordre pour lesquelles on sait ramener le
calcul des solutions ` a des calculs de primitives. Ceci fournira l’occasion d’illustrer
les r´ esultats g´ en´ eraux du chapitre V par des exemples.
½º
ÕÙÙØØÓÒ× Ù ÔÖÖÑÑÑÖ ÓÖÖÖÖ
½º½º ÊÊÑÑÖÕÙÙ× Ò ÖÖÐÐ×
On consid` ere une ´ equation diff´ erentielle
(E)
dy
dx
= f (x, y)
o` u f : U → R est une fonction continue sur un ouvert U ⊂ R
2 , localement
lipschitzienne en y.
Les diff´ erentes solutions de l’´ equation (E) s’´ ecrivent en g´ en´ eral sous la forme
y = ϕ(x, λ)
o` u λ est un param` etre r´ eel : on dit parfois que la solution g´ en´ erale d´ epend d’un
seul param` etre. Pour comprendre ce ph´ enom` ene, il suffit d’appliquer le th´ eor` eme
de Cauchy-Lipschitz : si on cherche les solutions d´ efinies au voisinage d’un point
x 0 , on sait qu’il existe une solution y et une seule telle que y(x 0 ) = y 0 ; on peut
donc choisir λ = y 0 pour param´ etrer les solutions. Dans la pratique, le param` etre
λ apparaˆ ıt souvent comme constante d’int´ egration.
Il arrive parfois qu’en plus de la solution g´ en´ erale on ait des solutions particuli` eres
y = ψ 0 (x), y = ψ 1 (x), . . . qui ne s’obtiennent pour aucune valeur de λ : on dit que
ce sont des solutions singuli` eres (ou courbes int´ egrales singuli` eres) de (E).
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les r´ esultats g´ en´ eraux du chapitre V par des exemples.
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2 , localement
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Les diff´ erentes solutions de l’´ equation (E) s’´ ecrivent en g´ en´ eral sous la forme
y = ϕ(x, λ)
o` u λ est un param` etre r´ eel : on dit parfois que la solution g´ en´ erale d´ epend d’un
seul param` etre. Pour comprendre ce ph´ enom` ene, il suffit d’appliquer le th´ eor` eme
de Cauchy-Lipschitz : si on cherche les solutions d´ efinies au voisinage d’un point
x 0 , on sait qu’il existe une solution y et une seule telle que y(x 0 ) = y 0 ; on peut
donc choisir λ = y 0 pour param´ etrer les solutions. Dans la pratique, le param` etre
λ apparaˆ ıt souvent comme constante d’int´ egration.
Il arrive parfois qu’en plus de la solution g´ en´ erale on ait des solutions particuli` eres
y = ψ 0 (x), y = ψ 1 (x), . . . qui ne s’obtiennent pour aucune valeur de λ : on dit que
ce sont des solutions singuli` eres (ou courbes int´ egrales singuli` eres) de (E).