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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(γ) En d´ eduire une majoration de δ ∞ et conclure.
(d) On construit maintenant une m´ ethode de r´ esolution approch´ ee de (E) utilisant
les solutions retard´ ees z h . Pour tout entier n ∈ N, n ≤ T/h, on pose
t n = nh, z n = z h (t n ) ;
dans la formule
z n+1 = z n +
tn+1
tn
f (t, z h (t − h))dt
on remplace la valeur exacte de l’int´ egrale par sa valeur approch´ ee calcul´ ee au
moyen de la m´ ethode des trap` ezes ´ el´ ementaires.
(α) ´
Ecrire la relation de r´ ecurrence d´ efinissant la suite (z n ).
(β) Exprimer l’erreur de consistance relative ` a une solution exacte y ; en calculer
un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en fonction de h et des d´ eriv´ ees partielles
de f au point (t, y). Quel est l’ordre de la m´ ethode ? (voir chapitre VIII
pour les d´ efinitions).
5.9. Soit J un intervalle ouvert de R et f : J × R
m
→ R
m une application continue.
On se propose de d´ emontrer que toute solution maximale de l’´ equation diff´ erentielle
y
= f (t, y) est globale si f v´ erifie l’hypoth` ese suivante :
(H) Il existe des fonctions a, b : I → R + continues telles que
f (t, y), y ≤ a(t)y
2 + b(t), ∀(t, y) ∈ J × R
m ,
o` u , et d´ esignent respectivement le produit scalaire et la norme
euclidienne standards sur R
m .
(a) Soit y : [t 0 , t 1 [ → R
m une solution maximale `
a droite passant par un point
(t 0 , y 0 ) et soit r(t) = y(t)
2 . Montrer que r
(t) ≤ 2a(t)r(t) + 2b(t).
En d´ eduire que y(t)
2
≤ ρ(t) o` u ρ : J → R est la solution (toujours globale)
de l’´ equation lin´ eaire ρ
= 2a(t)ρ + 2b(t), telle que ρ(t 0 ) = y 0
2 .
[Indication : soit A(t) une primitive de a(t) ; ´ etudier le signe de la d´ eriv´ ee de
(r(t) − ρ(t))e
−2A(t) .
(b) D´ eterminer un majorant explicite de y(t) lorsque a et b sont des constantes.
(c) On suppose que t 1 < sup J. Montrer que y(t), y
(t) sont born´ ees sur [t 0 , t 1 [ et
que ces fonctions se prolongent par continuit´ e en t 1 . Montrer que ceci conduit
` a une contradiction. Conclure.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(γ) En d´ eduire une majoration de δ ∞ et conclure.
(d) On construit maintenant une m´ ethode de r´ esolution approch´ ee de (E) utilisant
les solutions retard´ ees z h . Pour tout entier n ∈ N, n ≤ T/h, on pose
t n = nh, z n = z h (t n ) ;
dans la formule
z n+1 = z n +
tn+1
tn
f (t, z h (t − h))dt
on remplace la valeur exacte de l’int´ egrale par sa valeur approch´ ee calcul´ ee au
moyen de la m´ ethode des trap` ezes ´ el´ ementaires.
(α) ´
Ecrire la relation de r´ ecurrence d´ efinissant la suite (z n ).
(β) Exprimer l’erreur de consistance relative ` a une solution exacte y ; en calculer
un d´ eveloppement limit´ e ` a l’ordre 2 en fonction de h et des d´ eriv´ ees partielles
de f au point (t, y). Quel est l’ordre de la m´ ethode ? (voir chapitre VIII
pour les d´ efinitions).
5.9. Soit J un intervalle ouvert de R et f : J × R
m
→ R
m une application continue.
On se propose de d´ emontrer que toute solution maximale de l’´ equation diff´ erentielle
y
= f (t, y) est globale si f v´ erifie l’hypoth` ese suivante :
(H) Il existe des fonctions a, b : I → R + continues telles que
f (t, y), y ≤ a(t)y
2 + b(t), ∀(t, y) ∈ J × R
m ,
o` u , et d´ esignent respectivement le produit scalaire et la norme
euclidienne standards sur R
m .
(a) Soit y : [t 0 , t 1 [ → R
m une solution maximale `
a droite passant par un point
(t 0 , y 0 ) et soit r(t) = y(t)
2 . Montrer que r
(t) ≤ 2a(t)r(t) + 2b(t).
En d´ eduire que y(t)
2
≤ ρ(t) o` u ρ : J → R est la solution (toujours globale)
de l’´ equation lin´ eaire ρ
= 2a(t)ρ + 2b(t), telle que ρ(t 0 ) = y 0
2 .
[Indication : soit A(t) une primitive de a(t) ; ´ etudier le signe de la d´ eriv´ ee de
(r(t) − ρ(t))e
−2A(t) .
(b) D´ eterminer un majorant explicite de y(t) lorsque a et b sont des constantes.
(c) On suppose que t 1 < sup J. Montrer que y(t), y
(t) sont born´ ees sur [t 0 , t 1 [ et
que ces fonctions se prolongent par continuit´ e en t 1 . Montrer que ceci conduit
` a une contradiction. Conclure.