V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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5.8. Soit T un r´ eel positif et f : [0, T ] × R → R une application continue
lipschitzienne de rapport k en la deuxi` eme variable. On consid` ere l’´ equation
diff´ erentielle
(E)
y
= f (t, y).
Soit un r´ eel h ∈ ]0, T [. On dira que z est une solution retard´ ee de retard h si z est
une fonction continue sur [0, T ], d´ erivable sur ]h, T ] et si
z
(t) = f (t, z(t − h)), ∀t ∈ ]h, T ].
(a) Soit y 0 un r´ eel fix´ e. Montrer que (E) admet une solution retard´ ee de retard h
et une seule, not´ ee z h , telle que z h (t) = y 0 pour tout t ∈ [0, h].
(b) Soit z une solution retard´ ee de retard h. On pose
A = max
t∈[0,T ]
|f (t, 0)|,
m(t) = max
u∈[0,t]
|z(u)|.
(α) Montrer que pour tout t ∈ [h, T ] on a
m(t) ≤ m(h) +
t
h
(A + km(u))du.
(β) En d´ eduire que
m(t) ≤
A
k
+ m(h)
e
k(t−h)
−
A
k
, ∀t ∈ [h, T ].
[Indication : ´ etudier la d´ eriv´ ee de la fonction M (t) = e
−kt
t
h
(A + km(u))du.]
(γ) Montrer qu’il existe une constante B ind´ ependante de h, que l’on explicitera,
telle que z h ∞ ≤ B pour tout h > 0, si z h d´ esigne la solution retard´ ee du
(a).
(c) On se propose ici d’´ etudier la convergence de z h quand h tend vers 0.
(α) Montrer que les fonctions z h sont C-lipschitziennes avec une constante C
ind´ ependante de h.
(β) Soit y la solution exacte (non retard´ ee) de (E) telle que y(0) = y 0 . On pose
δ(t) = max
u∈[0,t]
|z h (u) − y(u)|.
Montrer que δ v´ erifie l’in´ egalit´ e int´ egrale
δ(t) ≤ δ(h) +
t
h
(kCh + kδ(u))du.
o` u C est la constante de la question (c) α).