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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(d) On suppose ici que n est impair. Calculer Y (h), Y (2h) et Y (3h). Montrer
l’in´ egalit´ e Y (3h) < −
(3h)
3/2
16 .
On suppose que pour mh < c on a Y (mh) < −
(mh)
3/2
16
; montrer comme cidessus que Y ((m + 1)h) < −
((m+1)h)
3/2
16
, puis que Y (ph) < −
(ph)
3/2
16
pour tout
entier p tel que 0 < ph ≤ c.
(e) Pour 0 < t < c, montrer que les solutions approch´ ees Y (t) ne tendent vers
aucune limite n tend vers +∞.
5.6. Soit le syst` eme diff´ erentiel dans R
2 d´ efini par
(S)
dx
dt
= 2(x − ty)
dy
dt
= 2y.
(a) D´ eterminer la courbe int´ egrale qui passe par le point (x 0 , y 0 ) au temps t = 0.
(b) On utilise la m´ ethode d’Euler avec pas constant h, d´ emarrant au temps t 0 = 0.
Soit (x n , y n ) le point atteint au temps t n = nh (n ∈ N).
(α) ´
Ecrire la relation qui lie (x n+1 , y n+1 ) `
a (x n , y n ).
(β) Calculer explicitement (x n , y n ) en fonction de n, h, x 0 , y 0 .
(γ) Sans utiliser les th´ eor` emes g´ en´ eraux du cours, v´ erifier que la solution
approch´ ee qui interpole lin´ eairement les points (x n , y n ) converge sur R +
vers la solution exacte de (S).
5.7. Soit f : [a, b] × R → R une fonction continue et lipschitzienne de rapport k en
sa deuxi` eme variable. On d´ efinit une suite de fonctions y n : [a, b] → R en posant
y 0 (t) = λ et
y n+1 (t) = λ +
t
a
f (u, y n (u))du, n ∈ N.
On sait d’apr` es V 3.2 que y n converge uniform´ ement vers la solution exacte de
l’´ equation y
= f (t, y) telle que y(a) = λ. On ´ etudie ici le cas particulier de
l’´ equation
dy
dt
= −2y + t, t ∈ [0, +∞[.
(a) Montrer que y n peut s’´ ecrire sous la forme
y n (t) = λP n (t) + Q n (t)
o` u P n , Q n sont des polynˆ omes que l’on explicitera.
(b) Calculer lim n→+∞ P n et lim n→+∞ Q n . V´ erifier ce r´ esultat en r´ esolvant directement l’´ equation.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(d) On suppose ici que n est impair. Calculer Y (h), Y (2h) et Y (3h). Montrer
l’in´ egalit´ e Y (3h) < −
(3h)
3/2
16 .
On suppose que pour mh < c on a Y (mh) < −
(mh)
3/2
16
; montrer comme cidessus que Y ((m + 1)h) < −
((m+1)h)
3/2
16
, puis que Y (ph) < −
(ph)
3/2
16
pour tout
entier p tel que 0 < ph ≤ c.
(e) Pour 0 < t < c, montrer que les solutions approch´ ees Y (t) ne tendent vers
aucune limite n tend vers +∞.
5.6. Soit le syst` eme diff´ erentiel dans R
2 d´ efini par
(S)
dx
dt
= 2(x − ty)
dy
dt
= 2y.
(a) D´ eterminer la courbe int´ egrale qui passe par le point (x 0 , y 0 ) au temps t = 0.
(b) On utilise la m´ ethode d’Euler avec pas constant h, d´ emarrant au temps t 0 = 0.
Soit (x n , y n ) le point atteint au temps t n = nh (n ∈ N).
(α) ´
Ecrire la relation qui lie (x n+1 , y n+1 ) `
a (x n , y n ).
(β) Calculer explicitement (x n , y n ) en fonction de n, h, x 0 , y 0 .
(γ) Sans utiliser les th´ eor` emes g´ en´ eraux du cours, v´ erifier que la solution
approch´ ee qui interpole lin´ eairement les points (x n , y n ) converge sur R +
vers la solution exacte de (S).
5.7. Soit f : [a, b] × R → R une fonction continue et lipschitzienne de rapport k en
sa deuxi` eme variable. On d´ efinit une suite de fonctions y n : [a, b] → R en posant
y 0 (t) = λ et
y n+1 (t) = λ +
t
a
f (u, y n (u))du, n ∈ N.
On sait d’apr` es V 3.2 que y n converge uniform´ ement vers la solution exacte de
l’´ equation y
= f (t, y) telle que y(a) = λ. On ´ etudie ici le cas particulier de
l’´ equation
dy
dt
= −2y + t, t ∈ [0, +∞[.
(a) Montrer que y n peut s’´ ecrire sous la forme
y n (t) = λP n (t) + Q n (t)
o` u P n , Q n sont des polynˆ omes que l’on explicitera.
(b) Calculer lim n→+∞ P n et lim n→+∞ Q n . V´ erifier ce r´ esultat en r´ esolvant directement l’´ equation.