V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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(a) D´ emontrer que pour tout T > 0, ce probl` eme admet une solution et une seule
sur [0, T ], et indiquer comment la m´ ethode d’Euler permet d’en trouver une
approximation.
(b) D´ eduire de ce qui pr´ ec` ede la formule
y(t) = lim
N →+∞
P N (t) avec P N (t) =
N −1
n=0
1 +
nt
2
N 2
(c) Pour α > 0, ´ etudier les variations de la fonction f (x) = x ln (1 + α/x) sur
]0, +∞[ ; on montrera que f
(x) < 0.
En d´ eduire l’encadrement
1 +
t
2
N
n
N ≤ 1 +
nt
2
N 2 ≤
1 +
t
2
N 2
n
si 0 ≤ n ≤ N − 1.
(d) Calculer la limite du (b), et en d´ eduire y(t).
5.5. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle
y
= |y|
−3/4 y + t sin
π
t
= f (t, y)
o` u le second membre est d´ efini sur R
2 ` a l’aide de prolongements par continuit´ e. On
note Y (t) la solution approch´ ee d´ efinie sur R, obtenue par la m´ ethode d’Euler pour
le pas h =
1
n+1/2 o` u n ∈ N
∗ , et v´ erifiant Y (0) = 0. On suppose dans un premier
temps que n est pair.
(a) Calculer Y (h), Y (2h) et Y (3h).
D´ emontrer les in´ egalit´ es Y (3h) >
h
3/2
2 >
(3h)
3/2
16 .
(b) D´ eterminer c > 0 tel que 0 < t < c on ait
1
2 t
3/8
− t >
1
10 t
3/8 . En supposant
de plus h ≤ t et c assez petit v´ erifier
(t+h)
3/2 −t
3/2
h
<
8
5 t
3/8 (on pourra utiliser
la formule de Taylor).
(c) On suppose que pour m ∈ N
∗ on a mh < c et Y (m, h) >
(mh)
3/2
16
.
D´ emontrer les in´ egalit´ es
f (mh, Y (mh)) > Y (mh)
1/4
− mh >
1
2
(mh)
3/8
− mh >
1
10
(mh)
3/8 .
En d´ eduire Y ((m + 1)h) >
((m+1)h)
3/2
16
.
Montrer que si p entier v´ erifie 0 < ph ≤ c, on a
Y (ph) >
(ph)
3/2
16
.