150
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
(c) Montrer que la courbe sym´ etrique d’une trajectoire par rapport `
a (0, 0) est
encore une trajectoire.
(d) On consid` ere maintenant les sous-ensembles du plan
D
+ = {(0, y) ; y > 0); D
− = {(0, y) ; y < 0} ;
E 1 = {(x, y) ; x > 0 et y > x
3
− x)}; Γ + = {(x, x
3
− x) ; x > 0)} ;
E 2 = {(x, y) ; x > 0 et y < x
3
− x} ;
E 3 = {(x, y) ; x < 0 et y < x
3
− x}; Γ − = {(x, x
3
− x) ; x < 0} ;
E 4 = {(x, y) ; x < 0 et y > x
3
− x}.
Soit (x(t), y(t)) une solution de (E) ; montrer que, si (x(t 0 ), y(t 0 )) ∈ D
+ , il
existe t 4 > t 3 > t 2 > t 1 > t 0 tels que (x(t), y(t)) ∈ E i pour t ∈ ]t i−1 , t i [,
i = 1, 2, 3, 4, et (x(t 1 ), y(t 1 )) ∈ Γ
+ , (x(t 2 ), y(t 2 )) ∈ D
− , (x(t 3 ), y(t 3 )) ∈ Γ
− ;
(x(t 4 ), y(t 4 )) ∈ D
+ .
(e) Soit y 0 > 0 et t 0 ∈ R ; il existe une solution de (E) telle que (x(t 0 ), y(t 0 )) =
(0, y 0 ) ; on pose σ(y 0 ) = y(t 2 ) ; montrer que σ(y 0 ) ne d´ epend que de y 0 (et non
de t 0 ) et que σ est une application monotone continue de R
+ dans R
− .
(f) En utilisant le (c), montrer que (0, y 0 ) appartient `
a la trajectoire d’une solution
p´ eriodique si et seulement si σ(y 0 ) = −y 0 .
(g) Soit β > 0 tel que pour la solution de (E) v´ erifiant (x(t 0 ), y(t 0 )) = (0, β) on ait
(x(t 1 ), y(t 1 )) = (1, 0). Montrer que pour y 0 < β, on a σ(y 0 )
2
− y
2
0 > 0 (regarder
t2
t0
d
dt
[x(t)
2 + y(t)
2 ]dt).
(h) Soit y 0 grand. Soit C la courbe form´ ee des arcs suivants :
• le segment (0, y 0 ), (1, y 0 ) ;
• l’arc de cercle de centre O passant par (1, y 0 ) et coupant (y = x
3
− x) en
(x 1 , y 1 ) avec x 1 > 1.
• le segment (x 1 , y 1 ), (x 1 , 0).
• l’arc de cercle de centre O passant par (x 1 , 0) et coupant (x = 1) en (x
1 , y
1 ).
• la tangente en (x
1 , y
1 ) `
a cet arc de cercle qui recoupe Oy en (0, y 2 ).
Montrer que la solution de (E) passant par (0, y 0 ) est ` a l’int´ erieur de C. En
d´ eduire que σ(y 0 )
2
− y
2
0 < 0.
(i) En d´ eduire qu’il existe une trajectoire et une seule correspondant `
a des solutions
p´ eriodiques de (E). Montrer que les trajectoires non r´ eduites ` a (0, 0) convergent
asymptotiquement vers cette trajectoire quand t tend vers +∞.
5.4. Soit t une variable r´ eelle ≥ 0. On consid` ere le probl` eme de Cauchy
y
= ty, y(0) = 1.