V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
149
(b) On suppose que α est une barri` ere inf´ erieure sur [t 0 , t 1 [, que β est une barri` ere
sup´ erieure sur [t 0 , t 1 [, et que α(t) < β(t) pour tout t ∈ [t 0 , t 1 [. L’ensemble des
points (t, x) tels que t 0 ≤ t ≤ t 1 et α(t) ≤ x ≤ β(t) est appel´ e entonnoir.
(α) Montrer que si une solution u de l’´ equation diff´ erentielle est telle que (s, u(s))
soit dans l’entonnoir pour un s ∈ [t 0 , t 1 [, alors (t, u(t)) est dans l’entonnoir
pour tout t ∈ [s, t 1 [.
(β) Si α est une barri` ere inf´ erieure et β une barri` ere sup´ erieure, et si α(t) > β(t)
pour t ∈ [t 0 , t 1 [, on dit que l’ensemble des (t, x) tels que t 0 ≤ t ≤ t 1 et
α(t) ≥ x ≥ β(t) est un anti-entonnoir.
Montrer qu’il existe une solution u(t) de l’´ equation diff´ erentielle, telle que
β(t) ≤ u(t) ≤ α(t) pour tout t ∈ [t 0 , t 1 [.
(c) Dans la suite du probl` eme, on prend f (t, y) = sin(ty). On se restreindra aux
solutions v´ erifiant y > 0.
(α) D´ eterminer les isoclines correspondant aux pentes −1, 0, 1.
(β) Pour quelles valeurs de t ces isoclines sont-elles des barri` eres inf´ erieures ?
sup´ erieures ? Quels sont les entonnoirs form´ es par ces isoclines ?
(γ) Soit u une solution de l’´ equation diff´ erentielle ; soit γ la fonction continue,
d´ erivable par morceaux, d´ efinie pour t ≥ 0 par : γ(0) = u(0) > 0 ; γ
est affine de pente 1 depuis t = 0 jusqu’` a ce que son graphe rencontre la
premi` ere isocline de pente 0, puis γ est affine de pente 0 jusqu’` a l’isocline
de pente 0 suivante, puis γ est affine de pente 1 jusqu’` a l’isocline de pente
0 suivante, et ainsi de suite. Montrer que le graphe de γ rencontre la droite
y = t.
(δ) Montrer que γ est une barri` ere sup´ erieure.
(ε) En d´ eduire que toute solution de l’´ equation diff´ erentielle rencontre la droite
y = t, puis reste dans un entonnoir.
(ζ) Dessiner l’allure des solutions de l’´ equation diff´ erentielle y
= sin(ty).
5.3. On consid` ere l’´ equation (appel´ ee ´ equation de Van der Pol) :
(E)
x
(t) = y(t) − x
3 (t) + x(t),
y
(t) = −x(t),
t ∈ R.
(a) Montrer que le probl` eme de Cauchy correspondant admet une solution globale
unique (on pourra utiliser le r´ esultat de l’exercice 5.9).
(b) On appelle trajectoire associ´ ee ` a une solution de (E), l’ensemble parcouru
dans le plan Euclidien par le point de coordonn´ ees (x(t), y(t)) lorsque t parcourt R. Montrer que les trajectoires associ´ ees ` a deux solutions distinctes de
(E) co¨ ıncident ou n’ont aucun point commun ; montrer que par chaque point
du plan passe une trajectoire et une seule ; montrer que si une trajectoire a un
point double (c’est-` a-dire correspondant `
a deux valeurs distinctes de t), les solutions associ´ ees de (E) sont p´ eriodiques (et tous les points sont alors doubles).
Quelles sont les trajectoires r´ eduites ` a un point ?
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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(b) On suppose que α est une barri` ere inf´ erieure sur [t 0 , t 1 [, que β est une barri` ere
sup´ erieure sur [t 0 , t 1 [, et que α(t) < β(t) pour tout t ∈ [t 0 , t 1 [. L’ensemble des
points (t, x) tels que t 0 ≤ t ≤ t 1 et α(t) ≤ x ≤ β(t) est appel´ e entonnoir.
(α) Montrer que si une solution u de l’´ equation diff´ erentielle est telle que (s, u(s))
soit dans l’entonnoir pour un s ∈ [t 0 , t 1 [, alors (t, u(t)) est dans l’entonnoir
pour tout t ∈ [s, t 1 [.
(β) Si α est une barri` ere inf´ erieure et β une barri` ere sup´ erieure, et si α(t) > β(t)
pour t ∈ [t 0 , t 1 [, on dit que l’ensemble des (t, x) tels que t 0 ≤ t ≤ t 1 et
α(t) ≥ x ≥ β(t) est un anti-entonnoir.
Montrer qu’il existe une solution u(t) de l’´ equation diff´ erentielle, telle que
β(t) ≤ u(t) ≤ α(t) pour tout t ∈ [t 0 , t 1 [.
(c) Dans la suite du probl` eme, on prend f (t, y) = sin(ty). On se restreindra aux
solutions v´ erifiant y > 0.
(α) D´ eterminer les isoclines correspondant aux pentes −1, 0, 1.
(β) Pour quelles valeurs de t ces isoclines sont-elles des barri` eres inf´ erieures ?
sup´ erieures ? Quels sont les entonnoirs form´ es par ces isoclines ?
(γ) Soit u une solution de l’´ equation diff´ erentielle ; soit γ la fonction continue,
d´ erivable par morceaux, d´ efinie pour t ≥ 0 par : γ(0) = u(0) > 0 ; γ
est affine de pente 1 depuis t = 0 jusqu’` a ce que son graphe rencontre la
premi` ere isocline de pente 0, puis γ est affine de pente 0 jusqu’` a l’isocline
de pente 0 suivante, puis γ est affine de pente 1 jusqu’` a l’isocline de pente
0 suivante, et ainsi de suite. Montrer que le graphe de γ rencontre la droite
y = t.
(δ) Montrer que γ est une barri` ere sup´ erieure.
(ε) En d´ eduire que toute solution de l’´ equation diff´ erentielle rencontre la droite
y = t, puis reste dans un entonnoir.
(ζ) Dessiner l’allure des solutions de l’´ equation diff´ erentielle y
= sin(ty).
5.3. On consid` ere l’´ equation (appel´ ee ´ equation de Van der Pol) :
(E)
x
(t) = y(t) − x
3 (t) + x(t),
y
(t) = −x(t),
t ∈ R.
(a) Montrer que le probl` eme de Cauchy correspondant admet une solution globale
unique (on pourra utiliser le r´ esultat de l’exercice 5.9).
(b) On appelle trajectoire associ´ ee ` a une solution de (E), l’ensemble parcouru
dans le plan Euclidien par le point de coordonn´ ees (x(t), y(t)) lorsque t parcourt R. Montrer que les trajectoires associ´ ees ` a deux solutions distinctes de
(E) co¨ ıncident ou n’ont aucun point commun ; montrer que par chaque point
du plan passe une trajectoire et une seule ; montrer que si une trajectoire a un
point double (c’est-` a-dire correspondant `
a deux valeurs distinctes de t), les solutions associ´ ees de (E) sont p´ eriodiques (et tous les points sont alors doubles).
Quelles sont les trajectoires r´ eduites ` a un point ?