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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
reste (c’est-` a-dire : si une solution y(x) a un point (x 0 , y(x 0 )) dans P
− , alors si
x 1 > x 0 , (x 1 , y(x 1 )) ∈ P
− ).
(b) ´
Etudier et tracer le graphe de la courbe I ensemble des points d’inflexion des
solutions de l’´ equation diff´ erentielle. Quelles sont les r´ egions du plan o` u y
> 0,
respectivement y
< 0 ?
On notera I 1 la partie de I ext´ erieure ` a P
− , et I 2 la partie de I qui se trouve
dans P
− .
(c) Soit C une courbe solution rencontrant I 1 en un point (x, y).
(α) Montrer qu’en ce point, la pente de I 1 est strictement inf´ erieure ` a la pente
de C.
(β) En d´ eduire que C ne coupe I 1 qu’en ce point, que C ne rencontre pas P
− , et
que C n’a qu’un point d’inflexion.
(γ) Montrer que C poss` ede 2 branches infinies `
a direction asymptotique verticale.
(δ) Soit (x 0 , y 0 ) un point de C. Comparer en ce point, la pente de C et la
pente de la solution de l’´ equation diff´ erentielle y
=
y
2
2 . En d´ eduire que les
branches infinies de C correspondent `
a des asymptotes verticales.
(d) Soit D une courbe solution rencontrant I 0 .
(α) Montrer que D poss` ede une asymptote verticale.
(β) Montrer que D a un point d’inflexion et un seul.
(γ) Montrer que lorsque x → ∞, D est asymptote ` a I 0 .
(e) Soit A (resp. B) l’ensemble des points de l’axe Oy par o` u passe une courbe
solution qui rencontre I 1 (resp. I 0 ).
(α) Montrer qu’il existe a tel que A = {0} × ]a, +∞[.
(β) Montrer qu’il existe b tel que B = {0} × ] − ∞, b[.
(γ) Montrer que a = b. Quelle est l’allure de la solution passant par le point de
coordonn´ ees (0, a) ?
5.2. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle y
= f (t, y), o` u f et
∂f
∂y sont continues.
Soit α une fonction r´ eelle d´ efinie sur un intervalle [t 0 , t 1 [ o` u t 1 peut ´ eventuellement
ˆ etre infini ; on suppose α continue et d´ erivable par morceaux.
On dit que α est une barri` ere inf´ erieure [respectivement : sup´ erieure] pour l’´ equation
diff´ erentielle si α
(t) < f(t, α(t)) [resp : α
(t) > f(t, α(t))] pour tout t tel que α
(t)
existe, et, aux points o` u α n’est pas d´ erivable, pour la d´ eriv´ ee ` a gauche et pour la
d´ eriv´ ee ` a droite.
(a) Montrer que si α est une barri` ere inf´ erieure pour t 0 ≤ t ≤ t 1 et si u est une
solution de l’´ equation diff´ erentielle v´ erifiant α(t 0 ) ≤ u(t 0 ), alors α(t) < u(t) pour
tout t ∈ ]t 0 , t 1 [. Montrer un r´ esultat analogue pour une barri` ere sup´ erieure.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
reste (c’est-` a-dire : si une solution y(x) a un point (x 0 , y(x 0 )) dans P
− , alors si
x 1 > x 0 , (x 1 , y(x 1 )) ∈ P
− ).
(b) ´
Etudier et tracer le graphe de la courbe I ensemble des points d’inflexion des
solutions de l’´ equation diff´ erentielle. Quelles sont les r´ egions du plan o` u y
> 0,
respectivement y
< 0 ?
On notera I 1 la partie de I ext´ erieure ` a P
− , et I 2 la partie de I qui se trouve
dans P
− .
(c) Soit C une courbe solution rencontrant I 1 en un point (x, y).
(α) Montrer qu’en ce point, la pente de I 1 est strictement inf´ erieure ` a la pente
de C.
(β) En d´ eduire que C ne coupe I 1 qu’en ce point, que C ne rencontre pas P
− , et
que C n’a qu’un point d’inflexion.
(γ) Montrer que C poss` ede 2 branches infinies `
a direction asymptotique verticale.
(δ) Soit (x 0 , y 0 ) un point de C. Comparer en ce point, la pente de C et la
pente de la solution de l’´ equation diff´ erentielle y
=
y
2
2 . En d´ eduire que les
branches infinies de C correspondent `
a des asymptotes verticales.
(d) Soit D une courbe solution rencontrant I 0 .
(α) Montrer que D poss` ede une asymptote verticale.
(β) Montrer que D a un point d’inflexion et un seul.
(γ) Montrer que lorsque x → ∞, D est asymptote ` a I 0 .
(e) Soit A (resp. B) l’ensemble des points de l’axe Oy par o` u passe une courbe
solution qui rencontre I 1 (resp. I 0 ).
(α) Montrer qu’il existe a tel que A = {0} × ]a, +∞[.
(β) Montrer qu’il existe b tel que B = {0} × ] − ∞, b[.
(γ) Montrer que a = b. Quelle est l’allure de la solution passant par le point de
coordonn´ ees (0, a) ?
5.2. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle y
= f (t, y), o` u f et
∂f
∂y sont continues.
Soit α une fonction r´ eelle d´ efinie sur un intervalle [t 0 , t 1 [ o` u t 1 peut ´ eventuellement
ˆ etre infini ; on suppose α continue et d´ erivable par morceaux.
On dit que α est une barri` ere inf´ erieure [respectivement : sup´ erieure] pour l’´ equation
diff´ erentielle si α
(t) < f(t, α(t)) [resp : α
(t) > f(t, α(t))] pour tout t tel que α
(t)
existe, et, aux points o` u α n’est pas d´ erivable, pour la d´ eriv´ ee ` a gauche et pour la
d´ eriv´ ee ` a droite.
(a) Montrer que si α est une barri` ere inf´ erieure pour t 0 ≤ t ≤ t 1 et si u est une
solution de l’´ equation diff´ erentielle v´ erifiant α(t 0 ) ≤ u(t 0 ), alors α(t) < u(t) pour
tout t ∈ ]t 0 , t 1 [. Montrer un r´ esultat analogue pour une barri` ere sup´ erieure.