V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
147
Tout syst` eme diff´ erentiel (E) d’ordre p dans R
m est donc ´ equivalent `
a un syst` eme
diff´ erentiel (E 1 ) d’ordre 1 dans (R
m )
p . Il en r´ esulte que les th´ eor` emes d’existence et
d’unicit´ e d´ emontr´ es pour les syst` emes d’ordre 1 sont encore vrais pour les syst` emes
d’ordre p, avec des preuves qui sont des transpositions directes du cas d’ordre 1.
En voici les principaux ´ enonc´ es :
º¿º ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ
Pour tout point (t 0 , y 0 , y 1 , . . . , y p−1 ) ∈ U le probl` eme de Cauchy de conditions
initiales
y(t 0 ) = y 0 , y
(t 0 ) = y 1 , . . . , y
(p−1) (t 0 ) = y p−1
admet au moins une solution maximale y : I → R
m , d´ efinie sur un intervalle ouvert.
Remarque tr` es importante – On voit ainsi que pour un syst` eme d’ordre p,
la condition initiale requiert non seulement la donn´ ee de la valeur y 0 de y au temps
t 0 , mais ´ egalement la donn´ ee de ses (p − 1) premi` eres d´ eriv´ ees.
ººº ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ Ø ³ÙÒÒÒÒØ
Si de plus f est localement lipschitzienne en (y 0 , . . . , y p−1 ) sur U , c’est-` a-dire si
∀(t 0 , y 0 , . . . , y p−1 ) ∈ U il existe un voisinage [t 0 − T 0 , t 0 + T 0 ] × B(y 0 , r 0 ) × . . . ×
B(y p−1 , r p−1 ) contenu dans U sur lequel
f (t, z 0 , . . . , z p−1 ) − f (t, w 0 , . . . , w p−1 ) ≤ k(z 0 − w 0 + . . . + z p−1 − w p−1 ),
alors le probl` eme de Cauchy 4.3 admet une solution maximale et une seule.
ººº ËÓÐÙØØÓÒ× ÐÓÓÓÐÐ×
Si U = J × (R
m )
p et s’il existe une fonction k : J → R + continue telle que (∀t ∈ J)
f (t, z 0 , . . . , z p−1 ) − f (t, w 0 , . . . , w p−1 ) ≤ k(t)(z 0 − w 0 + . . . + z p−1 − w p−1 ),
alors les solutions maximales sont d´ efinies sur J tout entier.
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle y
= y
2
− x.
(a) Quelles sont les lignes isoclines ?
On notera I 0 l’isocline correspondant `
a la pente nulle.
Soit P
− l’ensemble des points du plan o` u la pente des solutions est strictement
n´ egative. D´ ecrire P
− . Montrer que si une solution entre dans P
− , alors elle y
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
147
Tout syst` eme diff´ erentiel (E) d’ordre p dans R
m est donc ´ equivalent `
a un syst` eme
diff´ erentiel (E 1 ) d’ordre 1 dans (R
m )
p . Il en r´ esulte que les th´ eor` emes d’existence et
d’unicit´ e d´ emontr´ es pour les syst` emes d’ordre 1 sont encore vrais pour les syst` emes
d’ordre p, avec des preuves qui sont des transpositions directes du cas d’ordre 1.
En voici les principaux ´ enonc´ es :
º¿º ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ
Pour tout point (t 0 , y 0 , y 1 , . . . , y p−1 ) ∈ U le probl` eme de Cauchy de conditions
initiales
y(t 0 ) = y 0 , y
(t 0 ) = y 1 , . . . , y
(p−1) (t 0 ) = y p−1
admet au moins une solution maximale y : I → R
m , d´ efinie sur un intervalle ouvert.
Remarque tr` es importante – On voit ainsi que pour un syst` eme d’ordre p,
la condition initiale requiert non seulement la donn´ ee de la valeur y 0 de y au temps
t 0 , mais ´ egalement la donn´ ee de ses (p − 1) premi` eres d´ eriv´ ees.
ººº ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ Ø ³ÙÒÒÒÒØ
Si de plus f est localement lipschitzienne en (y 0 , . . . , y p−1 ) sur U , c’est-` a-dire si
∀(t 0 , y 0 , . . . , y p−1 ) ∈ U il existe un voisinage [t 0 − T 0 , t 0 + T 0 ] × B(y 0 , r 0 ) × . . . ×
B(y p−1 , r p−1 ) contenu dans U sur lequel
f (t, z 0 , . . . , z p−1 ) − f (t, w 0 , . . . , w p−1 ) ≤ k(z 0 − w 0 + . . . + z p−1 − w p−1 ),
alors le probl` eme de Cauchy 4.3 admet une solution maximale et une seule.
ººº ËÓÐÙØØÓÒ× ÐÓÓÓÐÐ×
Si U = J × (R
m )
p et s’il existe une fonction k : J → R + continue telle que (∀t ∈ J)
f (t, z 0 , . . . , z p−1 ) − f (t, w 0 , . . . , w p−1 ) ≤ k(t)(z 0 − w 0 + . . . + z p−1 − w p−1 ),
alors les solutions maximales sont d´ efinies sur J tout entier.
º ÈÖÓÓÐ ÑÑ×
5.1. On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle y
= y
2
− x.
(a) Quelles sont les lignes isoclines ?
On notera I 0 l’isocline correspondant `
a la pente nulle.
Soit P
− l’ensemble des points du plan o` u la pente des solutions est strictement
n´ egative. D´ ecrire P
− . Montrer que si une solution entre dans P
− , alors elle y