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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Exercices
(a) Montrer que toute solution maximale de l’´ equation diff´ erentielle y
= t
t 2 + y 2 ,
(t, y) ∈ R × R, est globale.
(b) On d´ efinit f : R → R par f (y) = e si y ≤ e et f (y) = y ln y si y ≥ e. Montrer
que f n’est pas lipschitzienne au voisinage de 0. D´ eterminer explicitement les
solutions maximales de l’´ equation y
= f (y). Les conditions suffisantes du
th´ eor` eme pr´ ec´ edent sont-elles n´ ecessaires ?
º
ÕÙÙØØÓÒ× ÖÖÒØØØÐÐÐ× ³ÓÖÖÖÖ ×ÙÔ ÖÖÖÙÖ
ÙÒ
º½º ÒÒØØÓÒ×
Un syst` eme diff´ erentiel d’ordre p dans R
m est une ´ equation de la forme
(E)
y
(p) = f (t, y, y
, . . . , y
(p−1) )
o` u f : U → R
m est une application continue d´ efinie sur un ouvert U ⊂ R × (R
m )
p .
Une solution de (E) sur un intervalle I ⊂ R est une application y : I → R
m p-fois
d´ erivable, telle que
(i) (∀t ∈ I) (t, y(t), y
(t), . . . , y
(p−1) (t)) ∈ U ,
(ii) (∀t ∈ I) y
(p) (t) = f (t, y(t), y(t
), . . . , y
(p−1) (t)).
Le r´ esultat suivant se d´ emontre par r´ ecurrence d’une mani` ere enti` erement analogue
` a celle utilis´ ee pour les ´ equations diff´ erentielles d’ordre 1. Le d´ etail de l’argument
est laiss´ e au lecteur.
R´ egularit´ e des solutions – Si f est de classe C
k , les solutions y sont de
classe C
k+p .
º¾º ËÝ×Ø ÑÑ ÖÖÒØØØÐ ³ÓÖÖÖÖ ÙÒ ××ÓÓÓ
Il est clair que le syst` eme (E) est ´ equivalent au syst` eme diff´ erentiel d’ordre 1
(E 1 )

      
      
dY0
dt = Y 1
dY1
dt = Y 2
. . .
dYp−2
dt
= Y p−1
dYp−1
dt
= f (t, Y 0 , Y 1 , . . . , Y p−1 )
si l’on pose Y 0 = y, Y 1 = y
, . . .. Le syst` eme (E 1 ) peut encore s’´ ecrire
(E 1 )
Y
= F (T, Y )
avec
Y = (Y 0 , Y 1 , . . . , Y p−1 ) ∈ (R
m )
p
F = (F 0 , F 1 , . . . , F p−1 ) : U → (R
m )
p
F 0 (t, Y ) = Y 1 , . . . , F p−2 (t, Y ) = Y p−1 ,
F p−1 (t, Y ) = f (t, Y ).