V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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Comme U = J × R
m , on peut choisir un cylindre de s´ ecurit´ e de rayon r 0 = +∞.
L’application φ d´ efinie au § 3.2 op` ere donc sur l’espace complet
F = C([t 0 − T, t 0 + T
], R
m ).
Soit
K =
max
t∈[t0−T,t0+T ]
k(t).
L’application f est par hypoth` ese K-lipschitzienne en y sur [t 0 − T, t 0 + T
] × R
m .
D’apr` es le raisonnement du § 3.2, l’application φ
p est lipschitzienne de rapport
1
p! K
p (max(T, T
))
p sur F, donc contractante pour p assez grand. Ceci implique
que la solution (unique) du probl` eme de Cauchy est d´ efinie sur tout intervalle
[t 0 − T, t 0 + T
] ⊂ J.
D´ emonstration sous l’hypoth` ese (2). L’id´ ee est d’utiliser le crit` ere de maximalit´ e des
solutions d´ emontr´ e au 2.6. Supposons qu’on ait une solution y : [t 0 , b[ → R
m avec
t 0 , b ∈ J (autrement dit, telle que b ne soit pas la borne sup´ erieure de J). Posons
C = sup t∈[t0,b] c(t) et K = sup t∈[t0,b] k(t). Nous obtenons
y
(t) = f (t, y(t)) ≤ C + Ky(t).
On utilise alors un raisonnement de type lemme de Gronwall pour majorer la
norme y(t). Nous avons y(t) = y(t 0 ) +
t
t0
y
(u) du, donc
y(t) ≤ v(t) = y(t 0 ) +
t
t0
y
(u) du
avec
v
(t) = y
(t) ≤ C + Ky(t) ≤ C + Kv(t).
Ceci donne la majoration
d
dt
v(t)e
−K(t−t0)
=
v
(t) − K v(t)
e
−K(t−t0)
≤ Ce
−K(t−t0) .
Par int´ egration sur [t 0 , t], on obtient
v(t)e
−K(t−t0)
− v(t 0 ) ≤
C
K
(1 − e
−K(t−t0) ),
et comme v(t 0 ) = y(t 0 ), il vient
sup
t∈[t0,b[
y(t) ≤ sup
t∈[t0,b[
v(t) ≤ R =
C
K
e
K(b−t0)
− 1
+ y(t 0 )e
K(b−t0) .
Par cons´ equent (t, y(t)) d´ ecrit une partie compacte K = [t 0 , b] × B(0, R) dans
U = J × R
m , et y ne peut ˆ etre une solution maximale. Toute solution maximale
est donc globale.
Le lecteur pourra ´ etudier l’exercice 5.9 pour un g´ en´ eralisation `
a
une hypoth` ese de croissance plus faible que (2), tenant compte uniquement de la
direction radiale du vecteur f (t, y)
.