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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
a
a
b
t
(t 0 , y 0 )
y
On voit que pour tout point (t 0 , y 0 ) il passe une infinit´ e de solutions maximales : si
y 0 > 0, b = t 0 − y
1/3
0
est impos´ e, mais le choix de a ∈ [−∞, b] est arbitraire. Noter
que ce ph´ enom` ene se produit bien qu’on ait unicit´ e locale au point (t 0 , y 0 ) !
¿ººº ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÙÙ××ÒØØ× ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÐÓÓÓÐÐ×
Nous donnons ici des conditions suffisantes d’existence pour les solutions globales,
reposant sur des hypoth` eses de croissance de f (t, y) lorsque y tend vers +∞.
On peut cependant obtenir des conditions suffisantes nettement plus faibles (voir
l’exercice (b) ci-dessous, ainsi que le probl` eme 5.9).
Th´ eor` eme – Soit f : U → R
m une application continue sur un ouvert produit
U = J × R
m , o` u J ⊂ R est un intervalle ouvert. On fait l’une ou l’autre des deux
hypoth` eses suivantes :
(1) Il existe une fonction continue k : J → R + telle que pour tout t ∈ J fix´ e,
l’application y → f (t, y) soit lipschitzienne de rapport k(t) sur R
m .
(2) Il existe des fonctions c, k : J → R + continues telles que l’application
y → f (t, y) satisfasse une croissance lin´ eaire `
a l’infini du type
f (t, y) ≤ c(t) + k(t)y.
Alors toute solution maximale de l’´ equation diff´ erentielle y
= f (t, y) est globale
(c’est-` a-dire d´ efinie sur J tout entier ).
D´ emonstration. Il est ´ evident que l’hypoth` ese (1) entraˆ ıne l’hypoth` ese (2) (avec
c(t) = f (t, 0)), il suffirait donc de donner la preuve pour (2). Cependant, il y a
une d´ emonstration sensiblement plus simple sous l’hypoth` ese (1).
D´ emonstration sous l’hypoth` ese (1). Soit (t 0 , y 0 ) ∈ J × R
m , et [t 0 − T, t 0 + T
]
un intervalle compact quelconque contenu dans J. Reprenons la d´ emonstration du
th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz.
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
a
a
b
t
(t 0 , y 0 )
y
On voit que pour tout point (t 0 , y 0 ) il passe une infinit´ e de solutions maximales : si
y 0 > 0, b = t 0 − y
1/3
0
est impos´ e, mais le choix de a ∈ [−∞, b] est arbitraire. Noter
que ce ph´ enom` ene se produit bien qu’on ait unicit´ e locale au point (t 0 , y 0 ) !
¿ººº ÓÒÒÒØØÓÒ× ×ÙÙÙÙ××ÒØØ× ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ×ÓÐÙØØÓÒ× ÐÓÓÓÐÐ×
Nous donnons ici des conditions suffisantes d’existence pour les solutions globales,
reposant sur des hypoth` eses de croissance de f (t, y) lorsque y tend vers +∞.
On peut cependant obtenir des conditions suffisantes nettement plus faibles (voir
l’exercice (b) ci-dessous, ainsi que le probl` eme 5.9).
Th´ eor` eme – Soit f : U → R
m une application continue sur un ouvert produit
U = J × R
m , o` u J ⊂ R est un intervalle ouvert. On fait l’une ou l’autre des deux
hypoth` eses suivantes :
(1) Il existe une fonction continue k : J → R + telle que pour tout t ∈ J fix´ e,
l’application y → f (t, y) soit lipschitzienne de rapport k(t) sur R
m .
(2) Il existe des fonctions c, k : J → R + continues telles que l’application
y → f (t, y) satisfasse une croissance lin´ eaire `
a l’infini du type
f (t, y) ≤ c(t) + k(t)y.
Alors toute solution maximale de l’´ equation diff´ erentielle y
= f (t, y) est globale
(c’est-` a-dire d´ efinie sur J tout entier ).
D´ emonstration. Il est ´ evident que l’hypoth` ese (1) entraˆ ıne l’hypoth` ese (2) (avec
c(t) = f (t, 0)), il suffirait donc de donner la preuve pour (2). Cependant, il y a
une d´ emonstration sensiblement plus simple sous l’hypoth` ese (1).
D´ emonstration sous l’hypoth` ese (1). Soit (t 0 , y 0 ) ∈ J × R
m , et [t 0 − T, t 0 + T
]
un intervalle compact quelconque contenu dans J. Reprenons la d´ emonstration du
th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz.