V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
143
Th´ eor` eme – Soient y (1) , y (2) : I → R
m deux solutions de (E), avec f localement
lipschitzienne en y. Si y (1) et y (2) co¨ ıncident en un point de I, alors y (1) = y (2)
sur I.
D´ emonstration. Supposons y (1) (t 0 ) = y (2) (t 0 ) en un point t 0 ∈ I. Montrons par
exemple que y (1) (t) = y (2) (t) pour t ≥ t 0 . S’il n’en est pas ainsi, consid´ erons le
premier instant t 0 o` u y (1) et y (2) bifurquent :
t 0 = inf{t ∈ I ; t ≥ t 0 et y (1) (t) = y (2) (t)}
On a par d´ efinition y (1) (t) = y (2) (t) pour t ∈ [t 0 , t 0 [ et par continuit´ e il s’ensuit que
y (1) ( t 0 ) = y (2) ( t 0 ). Soit
y 0 ce point et soit
C = [ t 0 −
T , t 0 +
T ]×B( y 0 ,
r 0 ) un cylindre
de s´ ecurit´ e de centre ( t 0 ,
y 0 ). Le th´ eor` eme d’unicit´ e locale implique que y (1) = y (2)
sur [ t 0 −
T , t 0 +
T ], ce qui contredit la d´ efinition de t 0 . L’unicit´ e est d´ emontr´ ee.
Corollaire – Si f est localement lipschitzienne en y sur U , pour tout point
(t 0 , y 0 ) ∈ U il passe une solution maximale y : I → R
m et une seule.
Interpr´ etation g´ eom´ etrique – Le th´ eor` eme d’unicit´ e signifie g´ eom´ etriquement que des courbes int´ egrales distinctes ne peuvent se couper.
Exemple – y
= 3|y|
2/3 sur U = R × R.
D´ eterminons l’ensemble des solutions maximales. On a ici f (t, y) = 3|y|
2/3 ,
∂f
∂y = signe (y) × 2|y|
−1/3 pour y = 0. La d´ eriv´ ee y = 0 la d´ eriv´ ee
∂f
∂y est continue
sur les demi-plans y > 0 et y < 0, mais discontinue en y = 0. La fonction f est
localement lipschitzienne en y sur {y > 0} et {y < 0}, mais il est facile de voir
qu’elle ne l’est pas au voisinage de tout point (t 0 , 0) ∈ R × {0} (on a vu d’ailleurs
qu’il n’y a pas d’unicit´ e locale en ces points). Sur {y > 0} (resp. sur {y < 0})
l’´ equation ´ equivaut `
a
1
3
y
y
−
2
3 = 1 (resp. −
1
3
y
(−y)
−
2
3 = −1)
d’o` u y
1
3 = t + C 1 (resp. (−y)
−
1
3 = −(t + C 2 )) soit y(t) = (t + C i )
3 . Si y est une
solution maximale dans U = R × R, alors y
≥ 0, donc y est croissante. Notons
a = inf{t, y(t) = 0}, b = sup{t ; y(t) = 0}.
Si a = −∞, on a y(a) = 0 et y(t) < 0 pour t < a, donc y(t) = (t − a)
3 . De mˆ eme
y(t) = (t − b)
3 pour t > b si b = +∞.
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
143
Th´ eor` eme – Soient y (1) , y (2) : I → R
m deux solutions de (E), avec f localement
lipschitzienne en y. Si y (1) et y (2) co¨ ıncident en un point de I, alors y (1) = y (2)
sur I.
D´ emonstration. Supposons y (1) (t 0 ) = y (2) (t 0 ) en un point t 0 ∈ I. Montrons par
exemple que y (1) (t) = y (2) (t) pour t ≥ t 0 . S’il n’en est pas ainsi, consid´ erons le
premier instant t 0 o` u y (1) et y (2) bifurquent :
t 0 = inf{t ∈ I ; t ≥ t 0 et y (1) (t) = y (2) (t)}
On a par d´ efinition y (1) (t) = y (2) (t) pour t ∈ [t 0 , t 0 [ et par continuit´ e il s’ensuit que
y (1) ( t 0 ) = y (2) ( t 0 ). Soit
y 0 ce point et soit
C = [ t 0 −
T , t 0 +
T ]×B( y 0 ,
r 0 ) un cylindre
de s´ ecurit´ e de centre ( t 0 ,
y 0 ). Le th´ eor` eme d’unicit´ e locale implique que y (1) = y (2)
sur [ t 0 −
T , t 0 +
T ], ce qui contredit la d´ efinition de t 0 . L’unicit´ e est d´ emontr´ ee.
Corollaire – Si f est localement lipschitzienne en y sur U , pour tout point
(t 0 , y 0 ) ∈ U il passe une solution maximale y : I → R
m et une seule.
Interpr´ etation g´ eom´ etrique – Le th´ eor` eme d’unicit´ e signifie g´ eom´ etriquement que des courbes int´ egrales distinctes ne peuvent se couper.
Exemple – y
= 3|y|
2/3 sur U = R × R.
D´ eterminons l’ensemble des solutions maximales. On a ici f (t, y) = 3|y|
2/3 ,
∂f
∂y = signe (y) × 2|y|
−1/3 pour y = 0. La d´ eriv´ ee y = 0 la d´ eriv´ ee
∂f
∂y est continue
sur les demi-plans y > 0 et y < 0, mais discontinue en y = 0. La fonction f est
localement lipschitzienne en y sur {y > 0} et {y < 0}, mais il est facile de voir
qu’elle ne l’est pas au voisinage de tout point (t 0 , 0) ∈ R × {0} (on a vu d’ailleurs
qu’il n’y a pas d’unicit´ e locale en ces points). Sur {y > 0} (resp. sur {y < 0})
l’´ equation ´ equivaut `
a
1
3
y
y
−
2
3 = 1 (resp. −
1
3
y
(−y)
−
2
3 = −1)
d’o` u y
1
3 = t + C 1 (resp. (−y)
−
1
3 = −(t + C 2 )) soit y(t) = (t + C i )
3 . Si y est une
solution maximale dans U = R × R, alors y
≥ 0, donc y est croissante. Notons
a = inf{t, y(t) = 0}, b = sup{t ; y(t) = 0}.
Si a = −∞, on a y(a) = 0 et y(t) < 0 pour t < a, donc y(t) = (t − a)
3 . De mˆ eme
y(t) = (t − b)
3 pour t > b si b = +∞.