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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D’apr` es le lemme du § 2.1, y est une solution de (E) si et seulement si y est un point
fixe de φ. On va donc essayer d’appliquer le th´ eor` eme du point fixe. Observons que
φ(y)(t) − y 0 =
t
t0
f (u, y(u))du
≤ M |t − t 0 | ≤ MT ≤ r 0 ,
donc φ(y) ∈ F. L’op´ erateur φ envoie donc F dans F. Soient maintenant y, z ∈ F et
y (p) = φ
p (y), z (p) = φ
p (z). On a
y (1) (t) − z (1) (t) =
t
t0
(f (u, y(u)) − f (u, z(u))) du
≤
t
t0
ky(u) − z(u)du
≤ k|t − t 0 | d(y, z).
De mˆ eme
y (2) (t) − z (2) (t) ≤
t
0
ky 1 (u) − z 1 (u) du
≤
t
t0
k · k|u − t 0 |d(y, z)du
= k
2 |t − t 0 |
2
2
d(y, z).
Par r´ ecurrence sur p, on v´ erifie aussitˆ ot que
y (p) (t) − z (p) (t) ≤ k
p |t − t 0 |
p
p!
d(y, z),
en particulier
d(φ
p (y), φ
p (z)) = d(y (p) , z (p) ) ≤
k
p T
p
p!
d(y, z)
( ∗)
et φ
p est lipschitzienne de rapport
k
p T
p
p! sur F. Comme lim p→+∞
k
p T
p
p! = 0, il existe
p assez grand tel que
k
p T
p
p! < 1 ; pour une telle valeur de p, φ
p est une application
contractante de F dans F. Par ailleurs, F est un espace m´ etrique complet. Le
th´ eor` eme du point fixe d´ emontr´ e au chapitre IV (dans sa version g´ eneralis´ ee au cas
d’applications dont une it´ er´ ee est contractante) montre alors que φ admet un point
fixe unique y. Nous avons donc bien red´ emontr´ e le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz
affirmant l’existence et d’unicit´ e de la solution du probl` eme de Cauchy.
Remarque – D’apr` es (∗), on voit que pour toute fonction z ∈ F la suite it´ er´ ee
z (p) = ϕ
p (z) converge uniform´ ement vers la solution exacte y du probl` eme de
Cauchy.
¿º¿º ÍÒÒÒÒØ ÐÓÓÓÐÐ
Le th´ eor` eme d’unicit´ e locale entraˆ ıne facilement un r´ esultat d’unicit´ e globale, au
moyen d’un raisonnement de connexit´ e .
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D’apr` es le lemme du § 2.1, y est une solution de (E) si et seulement si y est un point
fixe de φ. On va donc essayer d’appliquer le th´ eor` eme du point fixe. Observons que
φ(y)(t) − y 0 =
t
t0
f (u, y(u))du
≤ M |t − t 0 | ≤ MT ≤ r 0 ,
donc φ(y) ∈ F. L’op´ erateur φ envoie donc F dans F. Soient maintenant y, z ∈ F et
y (p) = φ
p (y), z (p) = φ
p (z). On a
y (1) (t) − z (1) (t) =
t
t0
(f (u, y(u)) − f (u, z(u))) du
≤
t
t0
ky(u) − z(u)du
≤ k|t − t 0 | d(y, z).
De mˆ eme
y (2) (t) − z (2) (t) ≤
t
0
ky 1 (u) − z 1 (u) du
≤
t
t0
k · k|u − t 0 |d(y, z)du
= k
2 |t − t 0 |
2
2
d(y, z).
Par r´ ecurrence sur p, on v´ erifie aussitˆ ot que
y (p) (t) − z (p) (t) ≤ k
p |t − t 0 |
p
p!
d(y, z),
en particulier
d(φ
p (y), φ
p (z)) = d(y (p) , z (p) ) ≤
k
p T
p
p!
d(y, z)
( ∗)
et φ
p est lipschitzienne de rapport
k
p T
p
p! sur F. Comme lim p→+∞
k
p T
p
p! = 0, il existe
p assez grand tel que
k
p T
p
p! < 1 ; pour une telle valeur de p, φ
p est une application
contractante de F dans F. Par ailleurs, F est un espace m´ etrique complet. Le
th´ eor` eme du point fixe d´ emontr´ e au chapitre IV (dans sa version g´ eneralis´ ee au cas
d’applications dont une it´ er´ ee est contractante) montre alors que φ admet un point
fixe unique y. Nous avons donc bien red´ emontr´ e le th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz
affirmant l’existence et d’unicit´ e de la solution du probl` eme de Cauchy.
Remarque – D’apr` es (∗), on voit que pour toute fonction z ∈ F la suite it´ er´ ee
z (p) = ϕ
p (z) converge uniform´ ement vers la solution exacte y du probl` eme de
Cauchy.
¿º¿º ÍÒÒÒÒØ ÐÓÓÓÐÐ
Le th´ eor` eme d’unicit´ e locale entraˆ ıne facilement un r´ esultat d’unicit´ e globale, au
moyen d’un raisonnement de connexit´ e .