V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
141
Grˆ ace ` a une nouvelle int´ egration (noter que v(0) = 0), il vient
v(t)e
−kt
≤
t
0
(ε 1 + ε 2 )ue
−ku du = (ε 1 + ε 2 )
1 − (1 + kt)e
−kt
k 2
,
v(t) ≤ (ε 1 + ε 2 )
e
kt
− (1 + kt)
k 2
,
tandis que la premi` ere in´ egalit´ e int´ egr´ ee (∗) donne
y (2) (t) − y (1) (t) ≤ kv(t) + (ε 1 + ε 2 )t ≤ (ε 1 + ε 2 )
e
kt
− 1
k
.
Le cas o` u t ∈ [−T, 0] s’obtient par un changement de variable t → −t.
Th´ eor` eme (Cauchy-Lipschitz) – Si f : U → R
m est localement lipschitzienne
en y, alors pour tout cylindre de s´ ecurit´ e C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) comme
ci-dessus, le probl` eme de Cauchy avec condition initiale (t 0 , y 0 ) admet une unique
solution exacte y : [t 0 − T, t 0 + T ] → U . De plus, toute suite y (p) de solutions
ε p -approch´ ees avec ε p tendant vers 0 converge uniform´ ement vers la solution exacte
y sur [t 0 − T, t 0 + T ].
Existence. Soit y (p) une suite quelconque de solutions ε p approch´ ees avec
lim ε p = 0, par exemple celles fournies par la m´ ethode d’Euler. Le lemme de
Gronwall montre que
d(y (p) , y (q) ) ≤ (ε p + ε q )
e
kT
− 1
k
sur [t 0 − T, t 0 + T ],
par cons´ equent y (p) est une suite de Cauchy uniforme. Comme les fonctions y (p)
sont toutes `
a valeurs dans B(y 0 , r 0 ) qui est un espace complet, y (p) converge vers
une limite y. Cette limite y est une solution exacte de l’´ equation (E) d’apr` es la
proposition 3 du § 2.3.
Unicit´ e. Si y (1) , y (2) sont deux solutions exactes, le lemme de Gronwall avec
ε 1 = ε 2 = 0 montre que y (1) = y (2) .
¿º¾º¶ ÙØÖÖ ÑÓÒ×ØÖÖØØÓÒ ´ÔÖ ÐÐ ØØ ÓÖ ÑÑ Ù ÔÓÓÒØ Üܵ
Soit C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) ⊂ C 0 avec T ≤ min
T 0 ,
r0
M
un cylindre de
s´ ecurit´ e pour (E).
Notons F = C([t 0 − T, t 0 + T ], B(y 0 , r 0 )) l’ensemble des applications continues de
[t 0 − T, t 0 + T ] dans B(y 0 , r 0 ), muni de la distance d de la convergence uniforme.
A toute fonction y ∈ F, associons la fonction φ(y) d´ efinie par
φ(y)(t) = y 0 +
t
t0
f (u, y(u))du, t ∈ [t 0 − T, t 0 + T ].
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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Grˆ ace ` a une nouvelle int´ egration (noter que v(0) = 0), il vient
v(t)e
−kt
≤
t
0
(ε 1 + ε 2 )ue
−ku du = (ε 1 + ε 2 )
1 − (1 + kt)e
−kt
k 2
,
v(t) ≤ (ε 1 + ε 2 )
e
kt
− (1 + kt)
k 2
,
tandis que la premi` ere in´ egalit´ e int´ egr´ ee (∗) donne
y (2) (t) − y (1) (t) ≤ kv(t) + (ε 1 + ε 2 )t ≤ (ε 1 + ε 2 )
e
kt
− 1
k
.
Le cas o` u t ∈ [−T, 0] s’obtient par un changement de variable t → −t.
Th´ eor` eme (Cauchy-Lipschitz) – Si f : U → R
m est localement lipschitzienne
en y, alors pour tout cylindre de s´ ecurit´ e C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) comme
ci-dessus, le probl` eme de Cauchy avec condition initiale (t 0 , y 0 ) admet une unique
solution exacte y : [t 0 − T, t 0 + T ] → U . De plus, toute suite y (p) de solutions
ε p -approch´ ees avec ε p tendant vers 0 converge uniform´ ement vers la solution exacte
y sur [t 0 − T, t 0 + T ].
Existence. Soit y (p) une suite quelconque de solutions ε p approch´ ees avec
lim ε p = 0, par exemple celles fournies par la m´ ethode d’Euler. Le lemme de
Gronwall montre que
d(y (p) , y (q) ) ≤ (ε p + ε q )
e
kT
− 1
k
sur [t 0 − T, t 0 + T ],
par cons´ equent y (p) est une suite de Cauchy uniforme. Comme les fonctions y (p)
sont toutes `
a valeurs dans B(y 0 , r 0 ) qui est un espace complet, y (p) converge vers
une limite y. Cette limite y est une solution exacte de l’´ equation (E) d’apr` es la
proposition 3 du § 2.3.
Unicit´ e. Si y (1) , y (2) sont deux solutions exactes, le lemme de Gronwall avec
ε 1 = ε 2 = 0 montre que y (1) = y (2) .
¿º¾º¶ ÙØÖÖ ÑÓÒ×ØÖÖØØÓÒ ´ÔÖ ÐÐ ØØ ÓÖ ÑÑ Ù ÔÓÓÒØ Üܵ
Soit C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) ⊂ C 0 avec T ≤ min
T 0 ,
r0
M
un cylindre de
s´ ecurit´ e pour (E).
Notons F = C([t 0 − T, t 0 + T ], B(y 0 , r 0 )) l’ensemble des applications continues de
[t 0 − T, t 0 + T ] dans B(y 0 , r 0 ), muni de la distance d de la convergence uniforme.
A toute fonction y ∈ F, associons la fonction φ(y) d´ efinie par
φ(y)(t) = y 0 +
t
t0
f (u, y(u))du, t ∈ [t 0 − T, t 0 + T ].