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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
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Soit C 0 = [t 0 − T 0 , t 0 + T 0 ] × B(y 0 , r 0 ) ⊂ U un cylindre sur lequel f est k-lipschitzienne en y et soit M = sup C0 f . On se donne ε > 0 et on consid` ere des solutions
y (1) et y (2) respectivement ε 1 -approch´ ee et ε 2 -approch´ ee du probl` eme de Cauchy de
donn´ ee initiale (t 0 , y 0 ), avec ε 1 , ε 2 ≤ ε.
On a alors y
(i) (t) ≤ M + ε, et un raisonnement analogue `
a celui du § 2.1 montre
que les graphes de y (1) , y (2) restent contenus dans le cylindre
C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y, r 0 ) ⊂ C 0
d` es que T ≤ min
T 0 ,
r0
M +ε
, ce qu’on suppose d´ esormais.
Lemme de Gronwall – Sous les hypoth` eses pr´ ec´ edentes, on a
y (2) (t) − y (1) (t) ≤ (ε 1 + ε 2 )
e
k|t−t0|
− 1
k
, ∀t ∈ [t 0 − T, t 0 + T ].
D´ emonstration. Quitte `
a changer l’origine du temps on peut supposer t 0 = 0 et,
par exemple, t ∈ [0, T ]. Posons alors
v(t) =
t
0
y (2) (u) − y (1) (u)du.
Comme y (i) satisfait l’´ equation diff´ erentielle ` a ε i pr` es, on obtient par soustraction
y
(2) (t) − y
(1) (t) ≤ ≤f (t, y (2) (t) − f (t, y (1) (t) + ε 1 + ε 2
≤ ky (2) (t) − y (1) (t) + ε 1 + ε 2 ,
en utilisant l’hypoth` ese que f est k-lipschitzienne en y. De plus
y (2) (t) − y (1) (t) =
t
0
(y
(2) (u) − y
(1) (u))du
puisque y (2) (0) = y (1) (0) = y 0 . On en d´ eduit
y (2) (t) − y (1) (t) ≤ k
t
0
y (2) (u) − y (1) (u)du + (ε 1 + ε 2 )t
(∗)
c’est-` a-dire
v
(t) ≤ kv(t) + (ε 1 + ε 2 )t.
Apr` es soustraction de kv(t) et multiplication par e
−kt , on trouve
(v
(t) − kv(t))e
−kt =
d
dt
(v(t)e
−kt ) ≤ (ε 1 + ε 2 )te
−kt .