V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
139
Inversement, supposons qu’il existe un compact K de U tel que (t, y(t)) ∈ K pour
tout t ∈ [t 0 , b[. Posons
M = sup
(t,y)∈K
f (t, y) < +∞
qui est fini par continuit´ e de |f et compacit´ e de K. Ceci entraˆ ıne que t → y(t) est
lipschitzienne sur [t 0 , b[, donc uniform´ ement continue, et le crit` ere de cauchy montre
que la limite = lim t→b− y(t) existe. Nous pouvons prolonger y par continuit´ e en
b en posant y(b) = , et nous avons (b, y(b)) ∈ K ⊂ U puisque K est ferm´ e. La
relation y
(t) = f (t, y(t)) montre alors que y est de classe C
1 sur [t 0 , b]. Maintenant,
le th´ eor` eme d’existence locale des solutions implique qu’il existe une solution locale z
d probl` eme de Cauchy de donn´ ee initiale z(b) = = y(b) sur un intervalle [b−ε, b+ε].
On obtient alors un prolongement
y de y sur [t 0 , b + ε] en posant
y(t) = z(t) pour
t ∈ [b, b + ε]. Le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
¿º ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ Ø ³ÙÒÒÒÒØ ÙÙÙݹÄÄÔ××××ØÞ
Reprenons les notations du d´ ebut du § 2. On suppose ici en outre que f est
localement lipschitzienne en y : cela signifie que pour tout point (t 0 , y 0 ) ∈ U il existe
un cylindre C 0 = [t 0 − T 0 , t 0 + T 0 ] × B(y 0 , r 0 ) ⊂ U et une constante k = k(t 0 , y 0 ) ≥ 0
tels que f soit k-lipschitzienne en y sur C 0 :
∀(t, y 1 ), (t, y 2 ) ∈ C 0
f (t, y 1 ) − f (t, y 2 ) ≤ ky 1 − y 2 .
Remarque – Pour que f soit localement lipschitzienne en y sur U , il suffit que
f admette des d´ eriv´ ees partielles
∂fi
∂yj , 1 ≤ i, j ≤ m, continues sur U . Soit en effet
A = max
1≤i,j≤m
sup
(t,y)∈C0
∂f i
∂y j
(t, y)
.
Le nombre A est fini puisque C 0 est compact. Le th´ eor` eme des accroissement finis
appliqu´ es ` a f i sur C 0 donne
f i (t, y 1 ) − f i (t, y 2 ) =
j
∂f i
∂y j
(t, ξ)(y 1,j − y 2,j )
avec ξ ∈ ]y 1 , y 2 [. On a donc
max
i
|f i (t, y 1 ) − f (t, y 2 )| ≤ mA · max
j
|y 1,j − y 2,j |.
Sous ces hypoth` eses sur f , nous allons montrer que la solution du probl` eme
de Cauchy est n´ ecessairement unique, et que de plus toute suite de solutions
ε-approch´ ees avec ε tendant vers 0 converge n´ ecessairement vers la solution exacte.
Compte tenu de l’importance de ces r´ esultats, nous donnerons ensuite une deuxi` eme
d´ emonstration assez diff´ erente bas´ ee sur le th´ eor` eme du point fixe (chapitre IV,
§ 1.1).
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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Inversement, supposons qu’il existe un compact K de U tel que (t, y(t)) ∈ K pour
tout t ∈ [t 0 , b[. Posons
M = sup
(t,y)∈K
f (t, y) < +∞
qui est fini par continuit´ e de |f et compacit´ e de K. Ceci entraˆ ıne que t → y(t) est
lipschitzienne sur [t 0 , b[, donc uniform´ ement continue, et le crit` ere de cauchy montre
que la limite = lim t→b− y(t) existe. Nous pouvons prolonger y par continuit´ e en
b en posant y(b) = , et nous avons (b, y(b)) ∈ K ⊂ U puisque K est ferm´ e. La
relation y
(t) = f (t, y(t)) montre alors que y est de classe C
1 sur [t 0 , b]. Maintenant,
le th´ eor` eme d’existence locale des solutions implique qu’il existe une solution locale z
d probl` eme de Cauchy de donn´ ee initiale z(b) = = y(b) sur un intervalle [b−ε, b+ε].
On obtient alors un prolongement
y de y sur [t 0 , b + ε] en posant
y(t) = z(t) pour
t ∈ [b, b + ε]. Le th´ eor` eme est d´ emontr´ e.
¿º ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ Ø ³ÙÒÒÒÒØ ÙÙÙݹÄÄÔ××××ØÞ
Reprenons les notations du d´ ebut du § 2. On suppose ici en outre que f est
localement lipschitzienne en y : cela signifie que pour tout point (t 0 , y 0 ) ∈ U il existe
un cylindre C 0 = [t 0 − T 0 , t 0 + T 0 ] × B(y 0 , r 0 ) ⊂ U et une constante k = k(t 0 , y 0 ) ≥ 0
tels que f soit k-lipschitzienne en y sur C 0 :
∀(t, y 1 ), (t, y 2 ) ∈ C 0
f (t, y 1 ) − f (t, y 2 ) ≤ ky 1 − y 2 .
Remarque – Pour que f soit localement lipschitzienne en y sur U , il suffit que
f admette des d´ eriv´ ees partielles
∂fi
∂yj , 1 ≤ i, j ≤ m, continues sur U . Soit en effet
A = max
1≤i,j≤m
sup
(t,y)∈C0
∂f i
∂y j
(t, y)
.
Le nombre A est fini puisque C 0 est compact. Le th´ eor` eme des accroissement finis
appliqu´ es ` a f i sur C 0 donne
f i (t, y 1 ) − f i (t, y 2 ) =
j
∂f i
∂y j
(t, ξ)(y 1,j − y 2,j )
avec ξ ∈ ]y 1 , y 2 [. On a donc
max
i
|f i (t, y 1 ) − f (t, y 2 )| ≤ mA · max
j
|y 1,j − y 2,j |.
Sous ces hypoth` eses sur f , nous allons montrer que la solution du probl` eme
de Cauchy est n´ ecessairement unique, et que de plus toute suite de solutions
ε-approch´ ees avec ε tendant vers 0 converge n´ ecessairement vers la solution exacte.
Compte tenu de l’importance de ces r´ esultats, nous donnerons ensuite une deuxi` eme
d´ emonstration assez diff´ erente bas´ ee sur le th´ eor` eme du point fixe (chapitre IV,
§ 1.1).