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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration. Soit y (p) la solution approch´ ee donn´ ee par la m´ ethode d’Euler
en utilisant la subdivision avec pas constant h = T/p des intervalles [t 0 , t 0 + T ] et
[t 0 −T, t 0 ]. Cette solution est ε p -approch´ ee avec erreur ε p ≤ ω f ((M +1) T/p) tendant
vers 0. Chaque application y (p) : [t 0 − T, t 0 + T ] → B(y 0 , r 0 ) est lipschitzienne de
rapport M , donc d’apr` es le th´ eor` eme d’Ascoli on peut extraire de (y (p) ) une soussuite (y (pn) ) convergeant uniform´ ement vers une limite y. D’apr` es la proposition 3
du § 2.3, y est une solution exacte de l’´ equation (E).
Corollaire – Par tout point (t 0 , y 0 ) ∈ U , il passe au moins une solution maximale
y : I → R
m de (E). De plus, l’intervalle de d´ efinition I de toute solution maximale
est ouvert (mais en g´ en´ eral, il n’y a pas unicit´ e de ces solutions maximales).
On vient de voir en effet qu’il existe une solution locale z d´ efinie sur un intervalle
[t 0 − T, t 0 + T ]. D’apr` es le th´ eor` eme du § 1.3, z se prolonge en une solution
maximale y =
z : |a, b| → R
m . Si y ´ etait d´ efinie au point b, il existerait une
solution y (1) : [b − ε, b + ε] → R
m du probl` eme de Cauchy avec donn´ ee initiale
(b, y(b)) ∈ U . La fonction
y : |a, b + ε] → R
m co¨ ıncidant avec y sur |a, b] et avec y (1)
sur [b, b + ε] serait alors un prolongement strict de y, ce qui est absurde.
Exemple – Pour donner un exemple de non unicit´ e, il suffit de consid´ erer
l’´ equation y
= 3|y|
2/3 . Le probl` eme de Cauchy de condition initiale y(0) = 0
admet alors au moins 2 solutions maximales :
y (1) (t) = 0, y (2) (t) = t
3 , t ∈ R.
¾ººº ÖÖØ ÖÖ ÑÑÜÜÑÑÐÐØ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
Nous allons voir ici une condition g´ eom´ etrique n´ ecessaire et suffisante permettant
d’affirmer qu’une solution est maximale.
Th´ eor` eme – U un ouvert de R × R
m et y : I = [t 0 , b[ → R
m une solution de
l’´ equation (E) y
= f (t, y), o` u f est une fonction continue sur U . Alors y(t) peut
se prolonger au del` a de b si et seulement si il existe un compact K ⊂ U tel que la
courbe t → (t, y(t)), t ∈ [t 0 , b[, reste contenue dans K.
Autrement dit, y est non prolongeable au del` a du temps b si et seulement si (t, y(t))
s’´ echappe de tout compact K de U quand t → b − . La cons´ equence suivante est
imm´ ediate.
Crit` ere de maximalit´ e – Une solution y : ]a, b[ → R
m de (E) est maximale
si et seulement si t → (t, y(t)) s’´ echappe de tout compact K de U quand t → a +
ou quand t → b − . Puisque les compacts sont les parties ferm´ ees born´ ees, ceci
signifie encore que (t, y(t)) s’approche du bord de U ou tend vers ∞, c’est-` a-dire
|t| + y(t) + 1/d
(t, y(t)), ∂U) → +∞ quand t → a + ou t → b − .
D´ emonstration du th´ eor` eme. La condition de prolongement est ´ evidemment
n´ ecessaire, puisque si y(t) se prolonge `
a [t 0 , b], alors l’image du compact [t 0 , b] par
l’application continue t → (t, y(t)) est un compact K ⊂ U .
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
D´ emonstration. Soit y (p) la solution approch´ ee donn´ ee par la m´ ethode d’Euler
en utilisant la subdivision avec pas constant h = T/p des intervalles [t 0 , t 0 + T ] et
[t 0 −T, t 0 ]. Cette solution est ε p -approch´ ee avec erreur ε p ≤ ω f ((M +1) T/p) tendant
vers 0. Chaque application y (p) : [t 0 − T, t 0 + T ] → B(y 0 , r 0 ) est lipschitzienne de
rapport M , donc d’apr` es le th´ eor` eme d’Ascoli on peut extraire de (y (p) ) une soussuite (y (pn) ) convergeant uniform´ ement vers une limite y. D’apr` es la proposition 3
du § 2.3, y est une solution exacte de l’´ equation (E).
Corollaire – Par tout point (t 0 , y 0 ) ∈ U , il passe au moins une solution maximale
y : I → R
m de (E). De plus, l’intervalle de d´ efinition I de toute solution maximale
est ouvert (mais en g´ en´ eral, il n’y a pas unicit´ e de ces solutions maximales).
On vient de voir en effet qu’il existe une solution locale z d´ efinie sur un intervalle
[t 0 − T, t 0 + T ]. D’apr` es le th´ eor` eme du § 1.3, z se prolonge en une solution
maximale y =
z : |a, b| → R
m . Si y ´ etait d´ efinie au point b, il existerait une
solution y (1) : [b − ε, b + ε] → R
m du probl` eme de Cauchy avec donn´ ee initiale
(b, y(b)) ∈ U . La fonction
y : |a, b + ε] → R
m co¨ ıncidant avec y sur |a, b] et avec y (1)
sur [b, b + ε] serait alors un prolongement strict de y, ce qui est absurde.
Exemple – Pour donner un exemple de non unicit´ e, il suffit de consid´ erer
l’´ equation y
= 3|y|
2/3 . Le probl` eme de Cauchy de condition initiale y(0) = 0
admet alors au moins 2 solutions maximales :
y (1) (t) = 0, y (2) (t) = t
3 , t ∈ R.
¾ººº ÖÖØ ÖÖ ÑÑÜÜÑÑÐÐØ × ×ÓÐÙØØÓÒ×
Nous allons voir ici une condition g´ eom´ etrique n´ ecessaire et suffisante permettant
d’affirmer qu’une solution est maximale.
Th´ eor` eme – U un ouvert de R × R
m et y : I = [t 0 , b[ → R
m une solution de
l’´ equation (E) y
= f (t, y), o` u f est une fonction continue sur U . Alors y(t) peut
se prolonger au del` a de b si et seulement si il existe un compact K ⊂ U tel que la
courbe t → (t, y(t)), t ∈ [t 0 , b[, reste contenue dans K.
Autrement dit, y est non prolongeable au del` a du temps b si et seulement si (t, y(t))
s’´ echappe de tout compact K de U quand t → b − . La cons´ equence suivante est
imm´ ediate.
Crit` ere de maximalit´ e – Une solution y : ]a, b[ → R
m de (E) est maximale
si et seulement si t → (t, y(t)) s’´ echappe de tout compact K de U quand t → a +
ou quand t → b − . Puisque les compacts sont les parties ferm´ ees born´ ees, ceci
signifie encore que (t, y(t)) s’approche du bord de U ou tend vers ∞, c’est-` a-dire
|t| + y(t) + 1/d
(t, y(t)), ∂U) → +∞ quand t → a + ou t → b − .
D´ emonstration du th´ eor` eme. La condition de prolongement est ´ evidemment
n´ ecessaire, puisque si y(t) se prolonge `
a [t 0 , b], alors l’image du compact [t 0 , b] par
l’application continue t → (t, y(t)) est un compact K ⊂ U .