V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
137
Comme S n−1 est infini et que J
N est fini, l’un des ´ el´ ements (l 1 , . . . , l N ) ∈ J
N
admet pour image r´ eciproque une partie infinie de S n−1 : on note S n cette partie.
Ceci signifie que pour tout p ∈ S n on a (j(p, 1), . . . , j(p, N )) = (l 1 , . . . , l N ) et donc
ϕ (p) (x i ) ∈ B
li . En particulier
(∀p, q ∈ S n ) δ
(ϕ (p) (x i ), ϕ (q) (x i )) ≤ diam B
li ≤
2
n
.
Soit x ∈ E un point quelconque. Il existe i ∈ I tel que x ∈ B i , d’o` u δ(x, x i ) <
1
n .
L’hypoth` ese que les ϕ (p) sont k-lipschitziennes entraˆ ıne
δ
(ϕ (p) (x), ϕ (p) (x i )) <
k
n
, δ
(ϕ (q) (x), ϕ (q) (x i )) <
k
n
.
L’in´ egalit´ e triangulaire implique alors (∀p, q ∈ S n )
δ
(ϕ (p) (x), ϕ (q) (x)) ≤
2
n
+ 2
k
n
=
2k + 2
n
.
D´ esignons par p n le n-i` eme ´ el´ ement de S n . Pour N ≥ n on a p N ∈ S N ⊂ S n , donc
δ
(ϕ (pn) (x), ϕ (pN ) (x)) ≤
2k + 2
n
.
(∗)
Ceci entraˆ ıne que ϕ (pn) (x) est une suite de Cauchy dans F pour tout x ∈ E. Comme
F est compact, F est aussi complet, donc ϕ (pn) (x) converge vers une limite ϕ(x).
Quand N → +∞, (∗) implique `
a la limite d(ϕ (pn) , ϕ) ≤
2k+2
n . On voit donc que
ϕ (pn) converge uniform´ ement vers ϕ. Il est facile de voir que ϕ ∈ Lip k (E, F ).
Exercice – On pose E = [0, π], F = [−1, 1], ϕ p (x) = cos px. Calculer
π
0
(ϕ p (x) − ϕ q (x))
2 dx
et en d´ eduire que d(ϕ p , ϕ q ) ≥ 1 si p = q. L’espace
Lip (E, F ) =
k≥0
Lip k (E, F )
est-il compact ?
¾ººº ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ´´´ÙÙÙݹÈÈÈÒÓ¹¹ÖÞÞÐе
L’id´ ee est d’utiliser le th´ eor` eme d’Ascoli pour montrer l’existence d’une sous-suite
uniform´ ement convergente de solutions approch´ ees. On obtient ainsi le
Th´ eor` eme – Soit C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) avec T ≤ min
T 0 ,
r0
M
un
cylindre de s´ ecurit´ e pour l’´ equation (E) : y
= f (t, y). Alors il existe une solution
y : [t 0 − T, t 0 + T ] → B(y 0 , r 0 ) de (E) avec condition initiale y
(t 0 ) = y 0 .
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
137
Comme S n−1 est infini et que J
N est fini, l’un des ´ el´ ements (l 1 , . . . , l N ) ∈ J
N
admet pour image r´ eciproque une partie infinie de S n−1 : on note S n cette partie.
Ceci signifie que pour tout p ∈ S n on a (j(p, 1), . . . , j(p, N )) = (l 1 , . . . , l N ) et donc
ϕ (p) (x i ) ∈ B
li . En particulier
(∀p, q ∈ S n ) δ
(ϕ (p) (x i ), ϕ (q) (x i )) ≤ diam B
li ≤
2
n
.
Soit x ∈ E un point quelconque. Il existe i ∈ I tel que x ∈ B i , d’o` u δ(x, x i ) <
1
n .
L’hypoth` ese que les ϕ (p) sont k-lipschitziennes entraˆ ıne
δ
(ϕ (p) (x), ϕ (p) (x i )) <
k
n
, δ
(ϕ (q) (x), ϕ (q) (x i )) <
k
n
.
L’in´ egalit´ e triangulaire implique alors (∀p, q ∈ S n )
δ
(ϕ (p) (x), ϕ (q) (x)) ≤
2
n
+ 2
k
n
=
2k + 2
n
.
D´ esignons par p n le n-i` eme ´ el´ ement de S n . Pour N ≥ n on a p N ∈ S N ⊂ S n , donc
δ
(ϕ (pn) (x), ϕ (pN ) (x)) ≤
2k + 2
n
.
(∗)
Ceci entraˆ ıne que ϕ (pn) (x) est une suite de Cauchy dans F pour tout x ∈ E. Comme
F est compact, F est aussi complet, donc ϕ (pn) (x) converge vers une limite ϕ(x).
Quand N → +∞, (∗) implique `
a la limite d(ϕ (pn) , ϕ) ≤
2k+2
n . On voit donc que
ϕ (pn) converge uniform´ ement vers ϕ. Il est facile de voir que ϕ ∈ Lip k (E, F ).
Exercice – On pose E = [0, π], F = [−1, 1], ϕ p (x) = cos px. Calculer
π
0
(ϕ p (x) − ϕ q (x))
2 dx
et en d´ eduire que d(ϕ p , ϕ q ) ≥ 1 si p = q. L’espace
Lip (E, F ) =
k≥0
Lip k (E, F )
est-il compact ?
¾ººº ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³ÜÜ×ØØÒÒÒ ´´´ÙÙÙݹÈÈÈÒÓ¹¹ÖÞÞÐе
L’id´ ee est d’utiliser le th´ eor` eme d’Ascoli pour montrer l’existence d’une sous-suite
uniform´ ement convergente de solutions approch´ ees. On obtient ainsi le
Th´ eor` eme – Soit C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) avec T ≤ min
T 0 ,
r0
M
un
cylindre de s´ ecurit´ e pour l’´ equation (E) : y
= f (t, y). Alors il existe une solution
y : [t 0 − T, t 0 + T ] → B(y 0 , r 0 ) de (E) avec condition initiale y
(t 0 ) = y 0 .