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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Si δ p =
max
[t0−T,t0+T ]
y − y (p) , on voit que
f (u, y (p) (u)) − f (u, y(u)) ≤ ω f (δ p )
tend vers 0, d’o` u, grˆ ace ` a la convergence uniforme :
y(t) − y 0 −
t
t0
f (u, y(u))du = 0, ∀t ∈ [t 0 − T, t 0 + T ].
Comme la limite uniforme y est continue, le lemme du d´ ebut du § 2 entraˆ ıne que y
est une solution exacte de (E).
¾ººº ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³××ÓÐÐ
Il s’agit d’un r´ esultat pr´ eliminaire de nature topologique que nous allons formuler
dans le cadre g´ en´ eral des espaces m´ etriques. Si (E, δ) et (F, δ
) sont des espaces
m´ etriques, rappelons que par d´ efinition une suite d’applications ϕ (p) : E → F
converge uniform´ ement vers ϕ : E → F si la distance uniforme
d(ϕ (p) , ϕ) = sup
x∈E
δ
(ϕ (p) (x), ϕ(x))
tend vers 0 quand p tend vers +∞.
Th´ eor` eme (Ascoli) – On suppose que E, F sont des espaces m´ etriques compacts.
Soit ϕ (p) : E → F une suite d’applications k-lipschitziennes, o` u k ≥ 0 est une
constante donn´ ee. Alors on peut extraire de ϕ (p) une sous-suite ϕ (pn) uniform´ ement
convergente, et la limite est une application k-lipschitzienne.
Soit Lip k (E, F ) l’ensemble des applications E → F lipschitziennes de rapport k.
Une autre mani` ere d’exprimer le th´ eor` eme d’Ascoli est la suivante.
Corollaire – Si E, F sont compacts, alors (Lip k (E, F ), d) est un espace m´ etrique
compact.
D´ emonstration. On construit par r´ ecurrence des parties infinies
S 0 = N ⊃ S 1 ⊃ . . . ⊃ S n−1 ⊃ S n ⊃ . . .
telles que la sous-suite (ϕ (p) ) p∈Sn ait des oscillations de plus en plus faibles.
Supposons S n−1 construite, n ≥ 1. Comme E, F sont compacts, il existe des
recouvrements finis de E (resp. de F ) par des boules ouvertes (B i ) i∈I , resp. (B
j ) j∈J ,
de rayon
1
n . Notons I = {1, 2, . . . , N} et x i le centre de B i . Soit p un indice fix´ e.
Pour tout i = 1, . . . , N il existe un indice j = j(p, i) tel que ϕ (p) (x i ) ∈ B
j(p,i) .
On consid` ere l’application
S n−1 −→ J
N ,
p −→ (j(p, 1), . . . , j(p, N )).
Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
Si δ p =
max
[t0−T,t0+T ]
y − y (p) , on voit que
f (u, y (p) (u)) − f (u, y(u)) ≤ ω f (δ p )
tend vers 0, d’o` u, grˆ ace ` a la convergence uniforme :
y(t) − y 0 −
t
t0
f (u, y(u))du = 0, ∀t ∈ [t 0 − T, t 0 + T ].
Comme la limite uniforme y est continue, le lemme du d´ ebut du § 2 entraˆ ıne que y
est une solution exacte de (E).
¾ººº ÌÌ ÓÖ ÑÑ ³³××ÓÐÐ
Il s’agit d’un r´ esultat pr´ eliminaire de nature topologique que nous allons formuler
dans le cadre g´ en´ eral des espaces m´ etriques. Si (E, δ) et (F, δ
) sont des espaces
m´ etriques, rappelons que par d´ efinition une suite d’applications ϕ (p) : E → F
converge uniform´ ement vers ϕ : E → F si la distance uniforme
d(ϕ (p) , ϕ) = sup
x∈E
δ
(ϕ (p) (x), ϕ(x))
tend vers 0 quand p tend vers +∞.
Th´ eor` eme (Ascoli) – On suppose que E, F sont des espaces m´ etriques compacts.
Soit ϕ (p) : E → F une suite d’applications k-lipschitziennes, o` u k ≥ 0 est une
constante donn´ ee. Alors on peut extraire de ϕ (p) une sous-suite ϕ (pn) uniform´ ement
convergente, et la limite est une application k-lipschitzienne.
Soit Lip k (E, F ) l’ensemble des applications E → F lipschitziennes de rapport k.
Une autre mani` ere d’exprimer le th´ eor` eme d’Ascoli est la suivante.
Corollaire – Si E, F sont compacts, alors (Lip k (E, F ), d) est un espace m´ etrique
compact.
D´ emonstration. On construit par r´ ecurrence des parties infinies
S 0 = N ⊃ S 1 ⊃ . . . ⊃ S n−1 ⊃ S n ⊃ . . .
telles que la sous-suite (ϕ (p) ) p∈Sn ait des oscillations de plus en plus faibles.
Supposons S n−1 construite, n ≥ 1. Comme E, F sont compacts, il existe des
recouvrements finis de E (resp. de F ) par des boules ouvertes (B i ) i∈I , resp. (B
j ) j∈J ,
de rayon
1
n . Notons I = {1, 2, . . . , N} et x i le centre de B i . Soit p un indice fix´ e.
Pour tout i = 1, . . . , N il existe un indice j = j(p, i) tel que ϕ (p) (x i ) ∈ B
j(p,i) .
On consid` ere l’application
S n−1 −→ J
N ,
p −→ (j(p, 1), . . . , j(p, N )).