V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
135
Autrement dit, y est une solution ε-approch´ ee si y v´ erifie (E) avec une erreur ≤ ε.
Majoration de l’erreur pour les solutions approch´ ees d’Euler – Soit
ω f le module de continuit´ e de f sur C, d´ efini par
ω f (u) = max{{f (t 1 , y 1 ) − f (t 2 , y 2 ) ; |t 1 − t 2 | + y 1 − y 2 ≤ u}
o` u u ∈ [0, +∞[ et o` u les points (t 1 , y 1 ), (t 2 , y 2 ) parcourent C. Comme C est
compact, la fonction f est uniform´ ement continue sur C, par cons´ equent
lim
u→0+
ω f (u) = 0.
On suppose dans la suite que C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) est un cylindre de
s´ ecurit´ e tel que T ≤ min
T 0 ,
r0
M
.
Proposition 2 – Soit y : [t 0 − T, t 0 + T ] → R
m une solution approch´ ee
construite par la m´ ethode d’Euler avec pas maximum h max . Alors l’erreur ε v´ erifie
ε ≤ ω f ((M + 1)h max ).
En particulier, l’erreur ε tend vers 0 quand h max tend vers 0.
D´ emonstration. Majorons par exemple y
(t) − f (t, y(t)) pour t ∈ [t 0 , t 0 + T ],
o` u y est la solution approch´ ee associ´ ee ` a la subdivision t 0 < t 1 < . . . < t N = t 0 + T .
Pour t ∈ ]t n , t n+1 [, on a y
(t) = f (t n , y n ) et
y(t) − y n = (t − t n )f (t n , y n ) ≤ Mh n ,
|t − t n | ≤ h n .
Par d´ efinition de ω f , il vient
f (t n , y n ) − f (t, y(t)) ≤ ω f (Mh n + h n ),
y
(t) − f (t, y(t)) ≤ ω f ((M + 1)h max .
Montrons finalement un r´ esultat sur la convergence des solutions approch´ ees.
Proposition 3 – Soit y (p) : [t 0 − T, t 0 + T ] → R
m une suite de solutions
ε p -approch´ ees contenues dans le cylindre de s´ ecurit´ e C, telles que y (p) (t 0 ) = y 0 et
lim p→+∞ ε p = 0. On suppose que y (p) converge uniform´ ement sur [t 0 − T, t 0 + T ]
vers une fonction y. Alors y est une solution exacte du probl` eme de Cauchy pour
l’´ equation (E).
D´ emonstration. Comme y
(p) (t) − f (t, y (p) (t) ≤ ε p , il vient apr` es int´ egration
y (p) (t) − y 0 −
t
t0
f (u, y (p) (u))du ≤ ε p |t − t 0 |.
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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Autrement dit, y est une solution ε-approch´ ee si y v´ erifie (E) avec une erreur ≤ ε.
Majoration de l’erreur pour les solutions approch´ ees d’Euler – Soit
ω f le module de continuit´ e de f sur C, d´ efini par
ω f (u) = max{{f (t 1 , y 1 ) − f (t 2 , y 2 ) ; |t 1 − t 2 | + y 1 − y 2 ≤ u}
o` u u ∈ [0, +∞[ et o` u les points (t 1 , y 1 ), (t 2 , y 2 ) parcourent C. Comme C est
compact, la fonction f est uniform´ ement continue sur C, par cons´ equent
lim
u→0+
ω f (u) = 0.
On suppose dans la suite que C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) est un cylindre de
s´ ecurit´ e tel que T ≤ min
T 0 ,
r0
M
.
Proposition 2 – Soit y : [t 0 − T, t 0 + T ] → R
m une solution approch´ ee
construite par la m´ ethode d’Euler avec pas maximum h max . Alors l’erreur ε v´ erifie
ε ≤ ω f ((M + 1)h max ).
En particulier, l’erreur ε tend vers 0 quand h max tend vers 0.
D´ emonstration. Majorons par exemple y
(t) − f (t, y(t)) pour t ∈ [t 0 , t 0 + T ],
o` u y est la solution approch´ ee associ´ ee ` a la subdivision t 0 < t 1 < . . . < t N = t 0 + T .
Pour t ∈ ]t n , t n+1 [, on a y
(t) = f (t n , y n ) et
y(t) − y n = (t − t n )f (t n , y n ) ≤ Mh n ,
|t − t n | ≤ h n .
Par d´ efinition de ω f , il vient
f (t n , y n ) − f (t, y(t)) ≤ ω f (Mh n + h n ),
y
(t) − f (t, y(t)) ≤ ω f ((M + 1)h max .
Montrons finalement un r´ esultat sur la convergence des solutions approch´ ees.
Proposition 3 – Soit y (p) : [t 0 − T, t 0 + T ] → R
m une suite de solutions
ε p -approch´ ees contenues dans le cylindre de s´ ecurit´ e C, telles que y (p) (t 0 ) = y 0 et
lim p→+∞ ε p = 0. On suppose que y (p) converge uniform´ ement sur [t 0 − T, t 0 + T ]
vers une fonction y. Alors y est une solution exacte du probl` eme de Cauchy pour
l’´ equation (E).
D´ emonstration. Comme y
(p) (t) − f (t, y (p) (t) ≤ ε p , il vient apr` es int´ egration
y (p) (t) − y 0 −
t
t0
f (u, y (p) (u))du ≤ ε p |t − t 0 |.