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Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles
t 0
t 1
t 2
t 3 . . . t N = t 0 + T t
y 0
y 1
y 2
y 3
y
On construit de mˆ eme une solution approch´ ee sur [t 0 − T, t 0 ] en prenant des pas
h n < 0.
Proposition 1 – Si C = [t 0 − T, t 0 + T ] × B(y 0 , r 0 ) est un cylindre de s´ ecurit´ e
tel que T ≤ min
T 0 ,
r0
M
, toute solution approch´ ee y donn´ ee par la m´ ethode d’Euler
est contenue dans la boule B(y 0 , r 0 ).
D´ emonstration. On v´ erifie par r´ ecurrence sur n que
y([t 0 , t n ]) ⊂ B(y 0 , r 0 )
y(t) − y 0 ≤ M (t − t 0 ) pour t ∈ [t 0 , t n ].
C’est trivial pour n = 0. Si c’est vrai pour n, alors on a en particulier (t n , y n ) ∈ C,
donc f (t n , y n ) ≤ M , et par cons´ equent
y(t) − y n = (t − t n )f (t n , y n ) ≤ M (t − t n )
pour t ∈ [t n , t n+1 ]. Par hypoth` ese de r´ ecurrence
y n − y 0 = y(t n ) − y 0 ≤ M (t n − t 0 ).
L’in´ egalit´ e triangulaire entraˆ ıne alors ∀t ∈ [t n , t n+1 ] :
y(t) − y 0 ≤ M (t − t n ) + M (t n − t 0 ) ≤ M (t − t 0 ).
En particulier y(t) − y 0 ≤ MT ≤ r 0 , d’o` u
y([t 0 , t n+1 ]) ⊂ B(y 0 , r 0 ).
D´ efinition – Soit y : [a, b] → R
m une fonction de classe C
1 par morceaux (ceci
signifie qu’il existe une subdivision a = a 0 < a 1 < . . . < a N = b de [a, b] telle que
pour tout n la restriction y [an,an+1] soit de classe C
1 ; on suppose donc seulement
la continuit´ e et l’existence d’une d´ eriv´ ee ` a droite et ` a gauche de y aux points a n ).
On dit que y est une solution ε-approch´ ee de (E) si
(i) (∀t ∈ [a, b]) (t, y(t)) ∈ U ;
(ii) (∀n), (∀t ∈ ]a n , a n+1 [) y
(t) − f (t, y(t)) ≤ ε.