V – ´
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
133
Par d´ efinition de τ on a y(t) − y 0 ≤ r pour t ∈ [t 0 , τ[, donc par continuit´ e de y
on obtient y(τ ) − y 0 = r 0 . Comme (t, y(t)) ∈ C ⊂ C 0 pour t ∈ [t 0 , τ], il vient
y
(t) = f (t, y(t)) ≤ M et
r 0 = y(τ ) − y 0 =
τ
t0
y
(u)du
≤ M (τ − t 0 )
donc τ − t 0 ≥ r 0 /M . Par cons´ equent si T ≤ r 0 /M , aucune solution ne peut
s’´ echapper de C sur [t 0 − T, t 0 + T ].
Corollaire – Pour que C soit un cylindre de s´ ecurit´ e, il suffit de prendre
T ≤ min
T 0 ,
r 0
M
.
Le choix T = min
T 0 ,
r0
M
convient par exemple.
Remarque – Si C ⊂ C 0 est un cylindre de s´ ecurit´ e, toute solution du probl` eme
de Cauchy y : [t 0 − T, t 0 + T ] → R
m v´ erifie y
(t) ≤ M , donc y est lipschitzienne
de rapport M .
¾º¿º ËÓÐÙØØÓÒ× ÔÔÖÓÓÓ ×º Å ØØÓÓÓ ³³ÙÐÐÖ
On cherche ` a construire une solution approch´ ee de (E) sur un intervalle [t 0 , t 0 + T ].
On se donne pour cela une subdivision
t 0 < t 1 < t 2 . . . < t N −1 < t N = t 0 + T.
Les pas successifs sont not´ es
h n = t n+1 − t n , 0 ≤ n ≤ N − 1,
et on pose
h max = max(h 0 , . . . , h N −1 ).
La m´ ethode d’Euler (ou m´ ethode de la tangente) consiste ` a construire une solution
approch´ ee y affine par morceaux comme suit. Soit y n = y(t n ). On confond la
courbe int´ egrale sur [t n , t n+1 ] avec sa tangente au point (t n , y n ) :
y(t) = y n + (t − t n )f (t n , y n ), t ∈ [t n , t n+1 ].
Partant de la donn´ ee initiale y 0 , on calcule donc y n par r´ ecurrence en posant
y n+1 = y n + h n f (t n , y n )
t n+1 = t n + h n , 0 ≤ n ≤ N − 1.
La solution approch´ ee y s’obtient graphiquement en tra¸ cant pour chaque n les
segments joignant les points (t n , y n ), (t n+1 , y n+1 ).
Equations diff´ erentielles. R´ esultats fondamentaux
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Par d´ efinition de τ on a y(t) − y 0 ≤ r pour t ∈ [t 0 , τ[, donc par continuit´ e de y
on obtient y(τ ) − y 0 = r 0 . Comme (t, y(t)) ∈ C ⊂ C 0 pour t ∈ [t 0 , τ], il vient
y
(t) = f (t, y(t)) ≤ M et
r 0 = y(τ ) − y 0 =
τ
t0
y
(u)du
≤ M (τ − t 0 )
donc τ − t 0 ≥ r 0 /M . Par cons´ equent si T ≤ r 0 /M , aucune solution ne peut
s’´ echapper de C sur [t 0 − T, t 0 + T ].
Corollaire – Pour que C soit un cylindre de s´ ecurit´ e, il suffit de prendre
T ≤ min
T 0 ,
r 0
M
.
Le choix T = min
T 0 ,
r0
M
convient par exemple.
Remarque – Si C ⊂ C 0 est un cylindre de s´ ecurit´ e, toute solution du probl` eme
de Cauchy y : [t 0 − T, t 0 + T ] → R
m v´ erifie y
(t) ≤ M , donc y est lipschitzienne
de rapport M .
¾º¿º ËÓÐÙØØÓÒ× ÔÔÖÓÓÓ ×º Å ØØÓÓÓ ³³ÙÐÐÖ
On cherche ` a construire une solution approch´ ee de (E) sur un intervalle [t 0 , t 0 + T ].
On se donne pour cela une subdivision
t 0 < t 1 < t 2 . . . < t N −1 < t N = t 0 + T.
Les pas successifs sont not´ es
h n = t n+1 − t n , 0 ≤ n ≤ N − 1,
et on pose
h max = max(h 0 , . . . , h N −1 ).
La m´ ethode d’Euler (ou m´ ethode de la tangente) consiste ` a construire une solution
approch´ ee y affine par morceaux comme suit. Soit y n = y(t n ). On confond la
courbe int´ egrale sur [t n , t n+1 ] avec sa tangente au point (t n , y n ) :
y(t) = y n + (t − t n )f (t n , y n ), t ∈ [t n , t n+1 ].
Partant de la donn´ ee initiale y 0 , on calcule donc y n par r´ ecurrence en posant
y n+1 = y n + h n f (t n , y n )
t n+1 = t n + h n , 0 ≤ n ≤ N − 1.
La solution approch´ ee y s’obtient graphiquement en tra¸ cant pour chaque n les
segments joignant les points (t n , y n ), (t n+1 , y n+1 ).